A tarefa é avaliar essa integral sobre toda a região \Omega.
Passo 2
Primeiro eu interpreto geometricamente a desigualdade da região. Reescrevo x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2z completando o quadrado em z:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2z\leq 0
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\leq 1.
Isso mostra explicitamente que \Omega é a bola (sólido) de raio 1 centrada em (0,0,1). É uma bola que toca a origem e se estende para cima até z=2.
Agora escolho um sistema de coordenadas apropriado para aproveitar a simetria radial da integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} (que só depende da distância à origem) e a forma simples da fronteira quando escrita em coordenadas esféricas. Vou usar coordenadas esféricas definidas por
\begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= \rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= \rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
Explico o elemento de volume: em coordenadas esféricas o elemento de volume vale
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Intuitivamente isso vem do fato de que um pequeno volume é aproximadamente um paralelepípedo com dimensões d\rho, \rho\,d\varphi e \rho\sin\varphi\,d\theta, cujo volume é o produto dessas três dimensões, dando \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Passo 3
Traduzo a desigualdade que define \Omega para coordenadas esféricas. A condição de fronteira x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z em esféricas fica
\rho^{2}=2\rho\cos\varphi.
Como \rho=0 é a origem (caso trivial), para a superfície não-nula podemos dividir por \rho e obter
\rho=2\cos\varphi.
Isso nos dá o limite superior em \rho. Para que esse limite seja não-negativo devemos ter \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. O ângulo \theta percorre todo o círculo [0,2\pi]. Portanto os limites da região em esféricas são
A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} em coordenadas esféricas é simplesmente \rho. Assim o integrando com o elemento de volume fica \rho\cdot \rho^{2}\sin\varphi=\rho^{3}\sin\varphi.
Para calcular \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi uso a substituição natural u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos u=0. Assim
Resumo do cálculo: ao mudar para coordenadas esféricas, aproveitei que a integranda depende apenas de \rho e que a fronteira escrita em esféricas é \rho=2\cos\varphi. Integrando em \rho, depois em \theta e finalmente usando a substituição u=\cos\varphi para integrar em \varphi, obtive o valor final da integral como \dfrac{8\pi}{5}.