Problema 3 Calcule
\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z
sendo \Omega o sólido definido por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2 z.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx\,dy\,dz
onde a região \Omega é dada pela desigualdade
x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2z.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Integrando: }\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\\\ &\text{Região: }x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2z. \end{aligned}ã
A tarefa é avaliar essa integral sobre toda a região \Omega.

Passo 2

Primeiro eu interpreto geometricamente a desigualdade da região. Reescrevo x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2z completando o quadrado em z:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2z\leq 0
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\leq 1.
Isso mostra explicitamente que \Omega é a bola (sólido) de raio 1 centrada em (0,0,1). É uma bola que toca a origem e se estende para cima até z=2.
Agora escolho um sistema de coordenadas apropriado para aproveitar a simetria radial da integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} (que só depende da distância à origem) e a forma simples da fronteira quando escrita em coordenadas esféricas. Vou usar coordenadas esféricas definidas por
\begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= \rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= \rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
Explico o elemento de volume: em coordenadas esféricas o elemento de volume vale
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Intuitivamente isso vem do fato de que um pequeno volume é aproximadamente um paralelepípedo com dimensões d\rho, \rho\,d\varphi e \rho\sin\varphi\,d\theta, cujo volume é o produto dessas três dimensões, dando \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Traduzo a desigualdade que define \Omega para coordenadas esféricas. A condição de fronteira x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z em esféricas fica
\rho^{2}=2\rho\cos\varphi.
Como \rho=0 é a origem (caso trivial), para a superfície não-nula podemos dividir por \rho e obter
\rho=2\cos\varphi.
Isso nos dá o limite superior em \rho. Para que esse limite seja não-negativo devemos ter \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. O ângulo \theta percorre todo o círculo [0,2\pi]. Portanto os limites da região em esféricas são
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le \rho\le 2\cos\varphi.
A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} em coordenadas esféricas é simplesmente \rho. Assim o integrando com o elemento de volume fica \rho\cdot \rho^{2}\sin\varphi=\rho^{3}\sin\varphi.
Portanto a integral original transforma-se em
\iiint_{\Omega}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos\varphi}\rho^{3}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Faço a integração interna em \rho. A primitiva de \rho^{3} em relação a \rho é \dfrac{\rho^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 2\cos\varphi obtenho:
\int_{0}^{2\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho = \left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{2\cos\varphi} = \frac{(2\cos\varphi)^{4}}{4}.
Calculo (2\cos\varphi)^{4} = 16\cos^{4}\varphi, então
\int_{0}^{2\cos\varphi}\rho^{3}\,d\rho = \frac{16\cos^{4}\varphi}{4}=4\cos^{4}\varphi.
Assim a integral reduz a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} 4\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Integro em \theta. Não há dependência de \theta no integrando restante, então
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
e a integral torna-se
2\pi \int_{0}^{\pi/2} 4\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = 8\pi \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Para calcular \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi uso a substituição natural u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{1}^{0} u^{4}(-du) = \int_{0}^{1} u^{4}\,du.
A integral \int_{0}^{1} u^{4}\,du é fácil:
\int_{0}^{1} u^{4}\,du = \left.\frac{u^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Portanto
8\pi \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = 8\pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{8\pi}{5}.

Passo 6

Resumo do cálculo: ao mudar para coordenadas esféricas, aproveitei que a integranda depende apenas de \rho e que a fronteira escrita em esféricas é \rho=2\cos\varphi. Integrando em \rho, depois em \theta e finalmente usando a substituição u=\cos\varphi para integrar em \varphi, obtive o valor final da integral como \dfrac{8\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{5}

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