Problema 3) Elétrons são acelerados pela diferença de potencial de 750 kV , de modo que sua energia cinética é
.
(a) Qual é a razão da velocidade
de um elétron que possui essa energia com a velocidade da luz,
?
(b) Qual seria a velocidade se fosse calculada a partir dos princípios da mecânica clássica?
(a) Qual é a razão da velocidade
(b) Qual seria a velocidade se fosse calculada a partir dos princípios da mecânica clássica?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho):
- Dado: diferença de potencial que acelerou os elétrons é
, e a energia cinética do elétron foi fornecida como . (Observei que os dois enunciados são equivalentes: corresponde a porque a carga do elétron vale uma unidade elementar.) - Pergunta (a): calcular a razão entre a velocidade do elétron e a velocidade da luz, isto é
. - Pergunta (b): calcular a velocidade usando a mecânica clássica, isto é usando
.
Dados numéricos que vou usar (valores padrão):
- massa do elétron:
. - carga elementar (para converter eV em J):
(logo ). - velocidade da luz:
. - energia de repouso do elétron:
. Vou usar essa forma quando trabalhar relativisticamente.
Passo 2
Entendendo a maneira correta de calcular (a): teoria necessária e fórmulas.
- Em relatividade, a energia cinética de uma partícula é dada por
onde
é o fator de Lorentz definido por
- Aqui a incógnita é
. Primeiro resolvemos para a partir de , depois isolamos . - Isolando
da primeira fórmula:
- Em seguida, escrevendo
em função de :
- Assim a estratégia: calcular
com os valores de energia (tudo em eV é conveniente, pois e podem ser colocados nas mesmas unidades), e depois obter com a fórmula acima.
Passo 3
Cálculo numérico da parte relativística (resolvendo a letra (a)), passo a passo e explicado.
- Peguei o valor de
do enunciado: . - Peguei da constante a energia de repouso do elétron:
. - Calculo de
:
- Faço a divisão numérica dentro do parêntese:
- Logo
- Agora uso
. Primeiro calculo :
- Então
- Arredondando de forma razoável (dados iniciais têm 3 algarismos significativos), obtenho
- Interpretação rápida: o elétron está a cerca de
da velocidade da luz — regime relativístico, por isso usamos a fórmula relativística.
Passo 4
Preparando o cálculo clássico e explicando a fórmula usada (letra (b)).
- Na mecânica clássica (não-relativística), a energia cinética é
- Para usar essa fórmula preciso converter
de para joules, porque a massa está em e será em . - Conversão:
. Assim
- Faço a multiplicação:
(Arredondei para manter precisão adequada.)
Passo 5
Cálculo numérico clássico da velocidade e comentário sobre validade.
- Isolando
em :
- Substituo
em joules e da eletrón:
- Faço a divisão dentro da raiz:
- Tomando a raiz quadrada:
- Para comparar com
, calculo clássico:
- Conclusão importante e física: o resultado clássico dá
, isto é, aproximadamente . Isso é impossível fisicamente porque nada com massa pode ultrapassar . A razão prática é que a fórmula clássica deixa de ser válida quando as velocidades se aproximam de ; é por isso que, para energia tão grande, é obrigatório usar a relação relativística do Passo 2. O valor clássico mostra apenas que a aproximação clássica não se aplica neste caso.
Resposta
(a)
(b)
(resultado clássico, não físico, pois excede
)