Problema 3) Elétrons são acelerados pela diferença de potencial de 750 kV , de modo que sua energia cinética é 7,50 \times 10^{5} \mathrm{eV}.
(a) Qual é a razão da velocidade v de um elétron que possui essa energia com a velocidade da luz, c ?
(b) Qual seria a velocidade se fosse calculada a partir dos princípios da mecânica clássica?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho):
  • Dado: diferença de potencial que acelerou os elétrons é \,750\\ \text{kV}\,, e a energia cinética do elétron foi fornecida como \,7{,}50\times10^{5}\\ \text{eV}\,. (Observei que os dois enunciados são equivalentes: 750\\ \text{kV} corresponde a 7{,}50\times10^{5}\\ \text{eV} porque a carga do elétron vale uma unidade elementar.)
  • Pergunta (a): calcular a razão entre a velocidade do elétron e a velocidade da luz, isto é \,v/c.
  • Pergunta (b): calcular a velocidade usando a mecânica clássica, isto é usando \,K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
Dados numéricos que vou usar (valores padrão):
  • massa do elétron: \,m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • carga elementar (para converter eV em J): \,e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (logo 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}).
  • velocidade da luz: \,c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • energia de repouso do elétron: \,m c^{2}=511\\ \text{keV}=5{,}11\times10^{5}\\ \text{eV}. Vou usar essa forma quando trabalhar relativisticamente.

Passo 2

Entendendo a maneira correta de calcular (a): teoria necessária e fórmulas.
  • Em relatividade, a energia cinética de uma partícula é dada por
K=(\gamma-1)m c^{2},
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}.
  • Aqui a incógnita é \dfrac{v}{c}. Primeiro resolvemos para \gamma a partir de K, depois isolamos \dfrac{v}{c}.
  • Isolando \gamma da primeira fórmula:
\gamma = 1+\frac{K}{m c^{2}}.
  • Em seguida, escrevendo \dfrac{v}{c} em função de \gamma:
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
  • Assim a estratégia: calcular \gamma com os valores de energia (tudo em eV é conveniente, pois K e m c^{2} podem ser colocados nas mesmas unidades), e depois obter \dfrac{v}{c} com a fórmula acima.

Passo 3

Cálculo numérico da parte relativística (resolvendo a letra (a)), passo a passo e explicado.
  • Peguei o valor de K do enunciado: \,K=7{,}50\times10^{5}\\ \text{eV}.
  • Peguei da constante a energia de repouso do elétron: \,m c^{2}=5{,}11\times10^{5}\\ \text{eV}.
  • Calculo de \gamma:
\gamma = 1+\frac{K}{m c^{2}} = 1 + \frac{7{,}50\times10^{5}}{5{,}11\times10^{5}}.
  • Faço a divisão numérica dentro do parêntese:
\frac{7{,}50\times10^{5}}{5{,}11\times10^{5}}=\frac{7{,}50}{5{,}11}=1{,}467317\ldots
  • Logo
\gamma \approx 1 + 1{,}467317 = 2{,}467317.
  • Agora uso \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}. Primeiro calculo \gamma^{2}:
\gamma^{2}\approx (2{,}467317)^{2}=6{,}0866\ldots
  • Então
\frac{1}{\gamma^{2}}\approx 0{,}164289\ldots
1-\frac{1}{\gamma^{2}}\approx 0{,}835711\ldots
\frac{v}{c}=\sqrt{0{,}835711\ldots}\approx 0{,}914232\ldots
  • Arredondando de forma razoável (dados iniciais têm 3 algarismos significativos), obtenho
\frac{v}{c}\approx 0{,}9142.
  • Interpretação rápida: o elétron está a cerca de 91{,}4\% da velocidade da luz — regime relativístico, por isso usamos a fórmula relativística.

Passo 4

Preparando o cálculo clássico e explicando a fórmula usada (letra (b)).
  • Na mecânica clássica (não-relativística), a energia cinética é
K=\tfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Para usar essa fórmula preciso converter K de \text{eV} para joules, porque a massa está em \mathrm{kg} e v será em \mathrm{m/s}.
  • Conversão: 1\\ \text{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim
K=(7{,}50\times10^{5})\times(1{,}602176634\times10^{-19})\\ \mathrm{J}.
  • Faço a multiplicação:
K \approx 7{,}50\times10^{5}\times1{,}602176634\times10^{-19} =1{,}201632486\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
(Arredondei para manter precisão adequada.)

Passo 5

Cálculo numérico clássico da velocidade e comentário sobre validade.
  • Isolando v em \,K=\tfrac{1}{2}mv^{2}:
v=\sqrt{\frac{2K}{m}}.
  • Substituo K em joules e m da eletrón:
v=\sqrt{\frac{2\times1{,}201632486\times10^{-13}}{9{,}10938356\times10^{-31}}}.
  • Faço a divisão dentro da raiz:
\frac{2\times1{,}201632486\times10^{-13}}{9{,}10938356\times10^{-31}} \approx 2{,}63833\times10^{17}.
  • Tomando a raiz quadrada:
v \approx \sqrt{2{,}63833\times10^{17}}\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}138\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Para comparar com c, calculo \dfrac{v}{c} clássico:
\frac{v}{c}\approx\frac{5{,}138\times10^{8}}{2{,}99792458\times10^{8}}\approx1{,}715\ldots
  • Conclusão importante e física: o resultado clássico dá v>c, isto é, aproximadamente 1{,}72\,c. Isso é impossível fisicamente porque nada com massa pode ultrapassar c. A razão prática é que a fórmula clássica \tfrac{1}{2}mv^{2} deixa de ser válida quando as velocidades se aproximam de c; é por isso que, para energia tão grande, é obrigatório usar a relação relativística do Passo 2. O valor clássico mostra apenas que a aproximação clássica não se aplica neste caso.

Resposta

(a) \dfrac{v}{c}\approx0{,}9142
(b) v\approx5{,}14\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (resultado clássico, não físico, pois excede c)

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