O estado inicial de uma partícula é dado por
\Psi(x, 0)= \begin{cases}A \exp \left[i k_{0}\left(x-x_{0}\right)\right] & \left(x_{0}<x<x_{0}+a\right) \\\\ 0 & \left(x<x_{0} \mathrm{e} x>x_{0}+a\right),\end{cases}
onde k_{0}=2 \pi / \lambda_{0}.
(a) Determine a constante de normalização A;
(b) Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula;

Passo 1

O enunciado dá a função de onda inicial [\Psi(x,0)) e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados do enunciado:
  • A função de onda inicial é
\Psi(x,0)= \begin{cases}A \exp\!\left[i k_{0}\left(x-x_{0}\right)\right] & \left(x_{0}<x<x_{0}+a\right) \\[4pt] 0 & \left(x<x_{0}\\ \text{e}\\ x>x_{0}+a\right),\end{cases}
  • k_{0} = \dfrac{2\pi}{\lambda_{0}}\]. - A letra \(A é uma constante (possivelmente complexa) a ser determinada.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a constante de normalização A.
(b) Representar graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula, isto é, traçar |\Psi(x,0)|^{2} como função de x.
Observações úteis (a título de referência antes de começar a resolução):
  • A densidade de probabilidade é |\Psi(x,0)|^{2}=\Psi^{*}(x,0)\Psi(x,0).
  • A função de onda deve satisfazer a condição de normalização
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,0)|^{2}\,dx = 1.]

Passo 2

Vamos entender o que é necessário para normalizar. A normalização exige que a integral da densidade de probabilidade sobre todo o espaço valha 1:
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,0)|^{2}\,dx = 1.
Como \Psi(x,0) é nula fora do intervalo x_{0}<x<x_{0}+a, a integral sobre todo o eixo reduz-se à integral apenas nesse intervalo. Escrevo explicitamente:
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,0)|^{2}\,dx = \int_{x_{0}}^{x_{0}+a} |\Psi(x,0)|^{2}\,dx.
Agora precisamos calcular |\Psi(x,0)|^{2} dentro do intervalo.

Passo 3

Calcular o módulo ao quadrado de \Psi dentro do intervalo. Para x_{0}<x<x_{0}+a temos
\Psi(x,0)=A\,\exp\!\left[i k_{0}(x-x_{0})\right].
O módulo ao quadrado de um produto é o produto dos módulos ao quadrado; e |\exp(i\theta)|=1 para qualquer real \theta. Portanto
|\Psi(x,0)|^{2}=|A|^{2}\,\left|\exp\!\left[i k_{0}(x-x_{0})\right]\right|^{2}=|A|^{2}\cdot 1 = |A|^{2},
para todo x no intervalo x_{0}<x<x_{0}+a. Ou seja, a densidade de probabilidade é constante dentro do intervalo e igual a |A|^{2}.

Passo 4

Impor a condição de normalização usando o resultado do passo anterior. A integral da densidade sobre todo o espaço fica
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,0)|^{2}\,dx = \int_{x_{0}}^{x_{0}+a} |A|^{2}\,dx = |A|^{2} \int_{x_{0}}^{x_{0}+a} dx = |A|^{2}\,a.
A condição de normalização impõe que isso seja igual a 1, logo
|A|^{2}\,a = 1.
Resolvendo para |A| obtemos
|A| = \frac{1}{\sqrt{a}}.

Passo 5

Determinar A com fase. A normalização fixa apenas o módulo de A, não a sua fase complexa. Portanto a solução geral é
A = \frac{1}{\sqrt{a}}\,e^{i\varphi},
onde \varphi é uma fase real arbitrária (constante). Em mecânica quântica uma fase global física não observável pode ser escolhida convenientemente; uma escolha comum e simples é tomar \varphi=0, ou seja
A = \frac{1}{\sqrt{a}}
real e positiva. Vou adotar essa convenção ao desenhar o gráfico (mas lembrar que qualquer e^{i\varphi} com \varphi constante funciona igualmente para normalização).

Passo 6

Construir e descrever o gráfico da densidade de probabilidade |\Psi(x,0)|^{2}\). Com o resultado do passo 3 sabemos que \[|\Psi(x,0)|^{2} = \begin{cases} |A|^{2} = \dfrac{1}{a} & \text{se } x_{0}<x<x_{0}+a,\\[6pt] 0 & \text{se } x<x_{0} \text{ ou } x>x_{0}+a. \end{cases}
Isto significa que o gráfico de |\Psi(x,0)|^{2}\] é um retângulo (uma barra) de altura \(\dfrac{1}{a} no intervalo de x_{0} até x_{0}+a, e zero fora desse intervalo. Algumas observações práticas para desenhar:
  • No eixo horizontal desenhar x e marcar x_{0} e x_{0}+a.
  • No eixo vertical desenhar |\Psi|^{2} e marcar a altura \dfrac{1}{a}.
  • Entre x_{0} e x_{0}+a traçar uma linha horizontal em \dfrac{1}{a}.
  • Fora desse intervalo traçar linha em zero.
  • Nas extremidades pode-se desenhar descontinuidades (saltos) se quiser indicar claramente que a densidade passa de zero para \dfrac{1}{a} em x=x_{0} e volta a zero em x=x_{0}+a.
Qualitativamente: é uma distribuição uniforme de probabilidade dentro do segmento de comprimento a e nula fora; a área total do retângulo é (\dfrac{1}{a})\cdot a = 1, conforme exigido.]

Resposta

(a) \displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{a}}\,e^{i\varphi}\), com \(\varphi\) real arbitrário. Tomando a fase zero, \(A=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\).\n(b) \(\displaystyle |\Psi(x,0)|^{2}=\begin{cases}\dfrac{1}{a} & \text{se }x_{0}<x<x_{0}+a,\\[6pt]0 & \text{se }x<x_{0}\text{ ou }x>x_{0}+a.\end{cases}]

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