onde k_{0}=2 \pi / \lambda_{0}.
(a) Determine a constante de normalização A;
(b) Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula;
Passo 1
O enunciado dá a função de onda inicial [\Psi(x,0)) e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
k_{0} = \dfrac{2\pi}{\lambda_{0}}\].
- A letra \(A é uma constante (possivelmente complexa) a ser determinada.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a constante de normalização A.
(b) Representar graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula, isto é, traçar |\Psi(x,0)|^{2} como função de x.
Observações úteis (a título de referência antes de começar a resolução):
A densidade de probabilidade é |\Psi(x,0)|^{2}=\Psi^{*}(x,0)\Psi(x,0).
A função de onda deve satisfazer a condição de normalização
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,0)|^{2}\,dx = 1.]
Passo 2
Vamos entender o que é necessário para normalizar. A normalização exige que a integral da densidade de probabilidade sobre todo o espaço valha 1:
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,0)|^{2}\,dx = 1.
Como \Psi(x,0) é nula fora do intervalo x_{0}<x<x_{0}+a, a integral sobre todo o eixo reduz-se à integral apenas nesse intervalo. Escrevo explicitamente:
A condição de normalização impõe que isso seja igual a 1, logo
|A|^{2}\,a = 1.
Resolvendo para |A| obtemos
|A| = \frac{1}{\sqrt{a}}.
Passo 5
Determinar A com fase. A normalização fixa apenas o módulo de A, não a sua fase complexa. Portanto a solução geral é
A = \frac{1}{\sqrt{a}}\,e^{i\varphi},
onde \varphi é uma fase real arbitrária (constante). Em mecânica quântica uma fase global física não observável pode ser escolhida convenientemente; uma escolha comum e simples é tomar \varphi=0, ou seja
A = \frac{1}{\sqrt{a}}
real e positiva. Vou adotar essa convenção ao desenhar o gráfico (mas lembrar que qualquer e^{i\varphi} com \varphi constante funciona igualmente para normalização).
Passo 6
Construir e descrever o gráfico da densidade de probabilidade |\Psi(x,0)|^{2}\). Com o resultado do passo 3 sabemos que
\[|\Psi(x,0)|^{2} = \begin{cases} |A|^{2} = \dfrac{1}{a} & \text{se } x_{0}<x<x_{0}+a,\\[6pt] 0 & \text{se } x<x_{0} \text{ ou } x>x_{0}+a. \end{cases}
Isto significa que o gráfico de |\Psi(x,0)|^{2}\] é um retângulo (uma barra) de altura \(\dfrac{1}{a} no intervalo de x_{0} até x_{0}+a, e zero fora desse intervalo. Algumas observações práticas para desenhar:
No eixo horizontal desenhar x e marcar x_{0} e x_{0}+a.
No eixo vertical desenhar |\Psi|^{2} e marcar a altura \dfrac{1}{a}.
Entre x_{0} e x_{0}+a traçar uma linha horizontal em \dfrac{1}{a}.
Fora desse intervalo traçar linha em zero.
Nas extremidades pode-se desenhar descontinuidades (saltos) se quiser indicar claramente que a densidade passa de zero para \dfrac{1}{a} em x=x_{0} e volta a zero em x=x_{0}+a.
Qualitativamente: é uma distribuição uniforme de probabilidade dentro do segmento de comprimento a e nula fora; a área total do retângulo é (\dfrac{1}{a})\cdot a = 1, conforme exigido.]
Resposta
(a) \displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{a}}\,e^{i\varphi}\), com \(\varphi\) real arbitrário. Tomando a fase zero, \(A=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\).\n(b) \(\displaystyle |\Psi(x,0)|^{2}=\begin{cases}\dfrac{1}{a} & \text{se }x_{0}<x<x_{0}+a,\\[6pt]0 & \text{se }x<x_{0}\text{ ou }x>x_{0}+a.\end{cases}]