Questão 1: Uma criança está empurrando um gira-gira. O deslocamento angular do giragira varia com o tempo de acordo com a relação \boldsymbol{\theta}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{\gamma} \boldsymbol{-} \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{t}^{\mathbf{2}}, onde \boldsymbol{\gamma}=\mathbf{0 , 4 0 0} \mathbf{r a d} / \mathbf{s} e \boldsymbol{\beta} =0,0120 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{3}. (a) Calcule a velocidade angular do gira-gira em função do tempo. (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial? (c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea \omega_{z} para t=5,00 \mathrm{~s} e a velocidade angular média \omega_{m z} para o intervalo de t=0 até \mathbf{t}=\mathbf{5 , 0 0 ~ s}. Mostre que \boldsymbol{\omega}_{\boldsymbol{m z}} não é igual à média das velocidades angulares instantâneas para \mathbf{t}=\mathbf{0} e \mathbf{t}=\mathbf{5 , 0} s e explique a razão dessa diferença

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • A função dada é \theta(t)=\gamma-\beta t^{2}.
  • Valores fornecidos: \gamma=0,400 (unidade conforme enunciado) e \beta=0,0120 (unidade conforme enunciado).
  • O enunciado pede:
    (a) calcular a velocidade angular do gira‑gira em função do tempo;
    (b) encontrar o valor da velocidade angular inicial;
    (c) calcular o valor da velocidade angular instantânea \omega_{z} em t=5{,}00\\ \mathrm{s} e a velocidade angular média \omega_{m z} no intervalo de t=0 até t=5{,}00\\ \mathrm{s}; mostrar (ou discutir) se \omega_{m z} é igual à média das velocidades angulares instantâneas nos instantes t=0 e t=5{,}00\\ \mathrm{s} e explicar a razão da (des)igualdade.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): a velocidade angular instantânea \omega(t) é a taxa de variação temporal do deslocamento angular \theta(t). Em cálculo, isso significa derivar \theta(t) em relação ao tempo:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Intuição: a derivada dá a inclinação da curva \theta(t) — se \theta sobe rápido, \omega é grande e positiva; se \theta desce, \omega é negativa. A unidade de \omega é a unidade de \theta dividida por segundo (por exemplo \mathrm{rad/s} se \theta estiver em radianos).

Passo 3

Aplicando a definição ao caso dado. Derivamos \theta(t)=\gamma-\beta t^{2} em relação a t:
\omega(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\gamma-\beta t^{2}\bigr) = -2\beta t.
Agora substituímos numericamente \beta=0,0120:
\omega(t)=-2\cdot 0,0120\;t = -0,0240\;t.
Interpretação: \omega(t) é uma função linear de t com coeficiente -0,0240. (As unidades seguem das grandezas originais: esta expressão dá a velocidade angular em unidades compatíveis com as fornecidas no enunciado.)

Passo 4

Resposta à parte (b) — velocidade angular inicial. Calcula-se \omega(0):
\omega(0) = -0,0240\cdot 0 = 0.
Portanto a velocidade angular inicial é nula.

Passo 5

Resposta à parte (c), primeira subparte — velocidade angular instantânea em t=5{,}00\\ \mathrm{s}. Substituindo t=5{,}00 em \omega(t):
\omega(5{,}00) = -0,0240\cdot 5{,}00 = -0,120.
Logo \omega_{z}(5{,}00\\ \mathrm{s}) = -0,120 (na unidade apropriada).

Passo 6

Agora calculamos a velocidade angular média no intervalo 0\le t\le 5{,}00\\ \mathrm{s}. Definição prática e útil: a velocidade angular média \omega_{m} entre tempos t_{1} e t_{2} é a variação do deslocamento angular dividida pelo intervalo de tempo:
\omega_{m}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{\theta(t_{2})-\theta(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Primeiro calculamos \theta(0) e \theta(5{,}00). Usando \theta(t)=\gamma-\beta t^{2}:
\theta(0)=\gamma- \beta\cdot 0^{2}=\gamma=0,400,
\theta(5{,}00)=\gamma-\beta\cdot(5{,}00)^{2}=0,400 - 0,0120\cdot 25 = 0,400 - 0,300 = 0,100.
Portanto \Delta\theta=\theta(5{,}00)-\theta(0)=0,100-0,400=-0,300.
Agora a média no intervalo de 5{,}00\\ \mathrm{s} é
\omega_{m}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{-0,300}{5{,}00} = -0,060.

Passo 7

Comparação entre \omega_{m} e a média aritmética das velocidades instantâneas nos extremos. A média aritmética das velocidades em t=0 e t=5{,}00\\ \mathrm{s} é
\frac{\omega(0)+\omega(5{,}00)}{2}=\frac{0 + (-0,120)}{2} = -0,060.
Observa-se que, neste caso, \omega_{m} = -0,060 é exatamente igual a \dfrac{\omega(0)+\omega(5)}{2} = -0,060.
Explicação física e matemática do porquê disso acontecer (e o que esperar em geral):
  • Matematicamente, \omega_{m}=\dfrac{1}{\Delta t}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\omega(t)\,dt. Se \omega(t) é uma função linear de t (aqui \omega(t)=-2\beta t, que é linear), a média temporal iguala a média aritmética dos valores nos extremos. Geometricamente, a média é a área sob a curva \omega(t) dividida por \Delta t; para uma reta, essa área é exatamente a média dos dois valores extremos multiplicada por \Delta t.
  • Em geral, se \omega(t) não for linear (por exemplo tiver curvatura), a média temporal \dfrac{1}{\Delta t}\int \omega\,dt NÃO coincide com a média aritmética \dfrac{\omega(t_{1})+\omega(t_{2})}{2}. Assim, a razão para desigualdade em outros problemas é que a forma da curva \omega(t) entre os extremos determina a área; só no caso linear (ou em casos simétricos apropriados) as duas médias coincidem.
  • Conclusão específica: apesar do enunciado sugerir mostrar que são diferentes, aqui eles coincidem porque a velocidade angular instantânea é uma função linear do tempo.

Resposta

(a) \omega(t)=-0,0240\;t
(b) \omega(0)=0
(c) \omega_{z}(5{,}00\\ \mathrm{s})=-0,120
\omega_{m z} (para 0 a 5{,}00\\ \mathrm{s}) =-0,060

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