Questão 1: Uma criança está empurrando um gira-gira. O deslocamento angular do giragira varia com o tempo de acordo com a relação
, onde
e
. (a) Calcule a velocidade angular do gira-gira em função do tempo. (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial? (c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea
para
e a velocidade angular média
para o intervalo de
até
. Mostre que
não é igual à média das velocidades angulares instantâneas para
e
s e explique a razão dessa diferença
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- A função dada é
. - Valores fornecidos:
(unidade conforme enunciado) e (unidade conforme enunciado). - O enunciado pede:
(a) calcular a velocidade angular do gira‑gira em função do tempo;
(b) encontrar o valor da velocidade angular inicial;
(c) calcular o valor da velocidade angular instantâneaem e a velocidade angular média no intervalo de até ; mostrar (ou discutir) se é igual à média das velocidades angulares instantâneas nos instantes e e explicar a razão da (des)igualdade.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): a velocidade angular instantânea
é a taxa de variação temporal do deslocamento angular
. Em cálculo, isso significa derivar
em relação ao tempo:
Intuição: a derivada dá a inclinação da curva
— se
sobe rápido,
é grande e positiva; se
desce,
é negativa. A unidade de
é a unidade de
dividida por segundo (por exemplo
se
estiver em radianos).
Passo 3
Aplicando a definição ao caso dado. Derivamos
em relação a
:
Agora substituímos numericamente
:
Interpretação:
é uma função linear de
com coeficiente
. (As unidades seguem das grandezas originais: esta expressão dá a velocidade angular em unidades compatíveis com as fornecidas no enunciado.)
Passo 4
Resposta à parte (b) — velocidade angular inicial. Calcula-se
:
Portanto a velocidade angular inicial é nula.
Passo 5
Resposta à parte (c), primeira subparte — velocidade angular instantânea em
. Substituindo
em
:
Logo
(na unidade apropriada).
Passo 6
Agora calculamos a velocidade angular média no intervalo
. Definição prática e útil: a velocidade angular média
entre tempos
e
é a variação do deslocamento angular dividida pelo intervalo de tempo:
Primeiro calculamos
e
. Usando
:
Portanto
.
Agora a média no intervalo de é
Agora a média no intervalo de
Passo 7
Comparação entre
e a média aritmética das velocidades instantâneas nos extremos. A média aritmética das velocidades em
e
é
Observa-se que, neste caso,
é exatamente igual a
.
Explicação física e matemática do porquê disso acontecer (e o que esperar em geral):
- Matematicamente,
. Se é uma função linear de (aqui , que é linear), a média temporal iguala a média aritmética dos valores nos extremos. Geometricamente, a média é a área sob a curva dividida por ; para uma reta, essa área é exatamente a média dos dois valores extremos multiplicada por . - Em geral, se
não for linear (por exemplo tiver curvatura), a média temporal NÃO coincide com a média aritmética . Assim, a razão para desigualdade em outros problemas é que a forma da curva entre os extremos determina a área; só no caso linear (ou em casos simétricos apropriados) as duas médias coincidem. - Conclusão específica: apesar do enunciado sugerir mostrar que são diferentes, aqui eles coincidem porque a velocidade angular instantânea é uma função linear do tempo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(para
a
)
(b)
(c)