Problema: A empresa “TechSol” registrou os salários (em R$ mil) de 9 funcionários do setor de desenvolvimento:
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35
Passo 1
O enunciado dá os salários (em R$ mil) de 9 funcionários do setor de desenvolvimento:
O enunciado não faz perguntas explícitas, então vou calcular as medidas descritivas mais comuns que costumam ser pedidas neste tipo de exercício: média aritmética, mediana, moda, amplitude (range), variância e desvio-padrão (tratando os 9 funcionários como a população inteira), quartis e intervalo interquartílico, e o coeficiente de variação. Essas são medidas que ajudam a resumir e interpretar os dados numéricos fornecidos.
Passo 2
Média aritmética: conceito e cálculo passo a passo.
- Definição: a média aritmética de
valores é
onde
é o número de observações e
é a soma de todas as observações.
- Aqui
. Primeiro calculemos a soma dos salários:
- Agora a média:
Interpretação: o salário médio do grupo é cerca de
mil R$.
Passo 3
Mediana: definição e cálculo.
- Definição: a mediana é o valor que divide o conjunto ordenado em duas partes com igual número de observações. Se
for ímpar, a mediana é o elemento de posição . Se for par, é a média dos dois elementos centrais. - O conjunto já está ordenado e
(ímpar), então a mediana é o elemento de posição . - O 5.º elemento da lista é
. Logo,
Passo 4
Moda: definição e verificação.
- Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência. Pode não existir se todos os valores forem distintos, ou pode existir mais de uma moda.
- Observando a lista, todos os valores são distintos (nenhum se repete). Portanto:
Passo 5
Amplitude (range): definição e cálculo.
- Definição: amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor.
- Aqui maior
e menor , então
Passo 6
Variância populacional e desvio-padrão: explicação e cálculo detalhado.
- Escolha do método: como os dados são os salários dos 9 funcionários do setor (toda a população do setor), usamos a variância populacional. Se fosse uma amostra da população, usaríamos a correção com
. - Fórmula da variância populacional:
onde
é a média calculada antes.
- Para evitar muitos números decimais ao subtrair a média repetidamente, usei o truque de escrever
porque . Assim,
- Calculemos
para cada (mostro os passos para você poder reproduzir à mão):
- Agora quadrados:
- Soma dos quadrados:
- Voltando para a variância:
- Podemos simplificar a fração dividindo por
:
- Portanto a variância populacional é
- O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Interpretação prática: em média os salários divergem da média por cerca de
mil R$.
Passo 7
Quartis e intervalo interquartílico (IQR): definição, método e cálculo.
- Definição: o primeiro quartil
é a mediana da metade inferior dos dados; o terceiro quartil é a mediana da metade superior. Para ímpar, exclui-se a mediana central ao formar as metades. - Nosso conjunto ordenado é:
- Excluímos a mediana
e a metade inferior é . A mediana dessa metade (média dos dois centrais porque são 4 valores) é
- A metade superior é
e sua mediana é
- O intervalo interquartílico é
Passo 8
Coeficiente de variação: definição, cálculo e interpretação.
- Definição: o coeficiente de variação (CV) é a razão entre o desvio-padrão e a média, normalmente expresso em porcentagem:
- Usando
e ,
Interpretação: a variabilidade relativa dos salários é cerca de
da média.
Passo 9
Resumo final das medidas calculadas para consulta rápida (vou repetir tudo de forma organizada para você decorar/consultar na prova):
- Média:
(mil R$). - Mediana:
(mil R$). - Moda: sem moda (todos os valores são distintos).
- Amplitude:
(mil R$). - Variância populacional:
(mil R$)^2. - Desvio-padrão populacional:
(mil R$). -
(mil R$), (mil R$), (mil R$). - Coeficiente de variação:
.
Resposta
Média:
(mil R$).
Mediana: (mil R$).
Moda: sem moda.
Amplitude: (mil R$).
Variância (pop.): (mil R$)^2.
Desvio-padrão (pop.): (mil R$).
(mil R$).
(mil R$).
IQR: (mil R$).
Coeficiente de variação: .
Mediana:
Moda: sem moda.
Amplitude:
Variância (pop.):
Desvio-padrão (pop.):
IQR:
Coeficiente de variação: