Problema: A empresa “TechSol” registrou os salários (em R$ mil) de 9 funcionários do setor de desenvolvimento:
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35

Passo 1

O enunciado dá os salários (em R$ mil) de 9 funcionários do setor de desenvolvimento:
12,\;15,\;18,\;20,\;22,\;25,\;28,\;30,\;35.
O enunciado não faz perguntas explícitas, então vou calcular as medidas descritivas mais comuns que costumam ser pedidas neste tipo de exercício: média aritmética, mediana, moda, amplitude (range), variância e desvio-padrão (tratando os 9 funcionários como a população inteira), quartis e intervalo interquartílico, e o coeficiente de variação. Essas são medidas que ajudam a resumir e interpretar os dados numéricos fornecidos.

Passo 2

Média aritmética: conceito e cálculo passo a passo.
  • Definição: a média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde n é o número de observações e \sum_{i=1}^{n}x_i é a soma de todas as observações.
  • Aqui n=9. Primeiro calculemos a soma dos salários:
\sum_{i=1}^{9}x_i = 12+15+18+20+22+25+28+30+35 = 205.
  • Agora a média:
\bar{x}=\frac{205}{9}\approx 22,777\ldots
Interpretação: o salário médio do grupo é cerca de \,22{,}78 mil R$.

Passo 3

Mediana: definição e cálculo.
  • Definição: a mediana é o valor que divide o conjunto ordenado em duas partes com igual número de observações. Se n for ímpar, a mediana é o elemento de posição (n+1)/2. Se n for par, é a média dos dois elementos centrais.
  • O conjunto já está ordenado e n=9 (ímpar), então a mediana é o elemento de posição (9+1)/2=5.
  • O 5.º elemento da lista é 22. Logo,
\text{mediana} = 22.

Passo 4

Moda: definição e verificação.
  • Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência. Pode não existir se todos os valores forem distintos, ou pode existir mais de uma moda.
  • Observando a lista, todos os valores são distintos (nenhum se repete). Portanto:
\text{moda} = \text{não existe (sem moda)}.ã

Passo 5

Amplitude (range): definição e cálculo.
  • Definição: amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor.
  • Aqui maior =35 e menor =12, então
\text{amplitude} = 35 - 12 = 23.

Passo 6

Variância populacional e desvio-padrão: explicação e cálculo detalhado.
  • Escolha do método: como os dados são os salários dos 9 funcionários do setor (toda a população do setor), usamos a variância populacional. Se fosse uma amostra da população, usaríamos a correção com n-1.
  • Fórmula da variância populacional:
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média calculada antes.
  • Para evitar muitos números decimais ao subtrair a média repetidamente, usei o truque de escrever x_i-\bar{x}=\dfrac{9x_i-205}{9} porque \bar{x}=205/9. Assim,
(x_i-\bar{x})^2 = \frac{(9x_i-205)^2}{81}.
  • Calculemos 9x_i-205 para cada x_i (mostro os passos para você poder reproduzir à mão):
\begin{aligned} x_1=12&\Rightarrow 9\cdot12-205 = 108-205 = -97,\\\ x_2=15&\Rightarrow 135-205 = -70,\\\ x_3=18&\Rightarrow 162-205 = -43,\\\ x_4=20&\Rightarrow 180-205 = -25,\\\ x_5=22&\Rightarrow 198-205 = -7,\\\ x_6=25&\Rightarrow 225-205 = 20,\\\ x_7=28&\Rightarrow 252-205 = 47,\\\ x_8=30&\Rightarrow 270-205 = 65,\\\ x_9=35&\Rightarrow 315-205 = 110. \end{aligned}
  • Agora quadrados:
(-97)^2=9409,\;(-70)^2=4900,\;(-43)^2=1849,\;(-25)^2=625,\;(-7)^2=49,
20^2=400,\;47^2=2209,\;65^2=4225,\;110^2=12100.
  • Soma dos quadrados:
\sum (9x_i-205)^2 = 9409+4900+1849+625+49+400+2209+4225+12100 = 35766.
  • Voltando para a variância:
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum \frac{(9x_i-205)^2}{81} = \frac{35766}{81}.
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1}{9}\cdot\frac{35766}{81} = \frac{35766}{729}.
  • Podemos simplificar a fração dividindo por 3:
\frac{35766}{729}=\frac{11922}{243}=\frac{3974}{81}\approx 49{,}061728\ldots
  • Portanto a variância populacional é
\sigma^2 = \frac{35766}{729}\approx 49{,}0617\quad\text{(mil R\$)^2}.
  • O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{35766}{729}} \approx 7{,}0044\quad\text{(mil R\$)}.
Interpretação prática: em média os salários divergem da média por cerca de 7{,}00 mil R$.

Passo 7

Quartis e intervalo interquartílico (IQR): definição, método e cálculo.
  • Definição: o primeiro quartil Q_1 é a mediana da metade inferior dos dados; o terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior. Para n ímpar, exclui-se a mediana central ao formar as metades.
  • Nosso conjunto ordenado é:
12,\;15,\;18,\;20,\;22,\;25,\;28,\;30,\;35.
  • Excluímos a mediana 22 e a metade inferior é 12,15,18,20. A mediana dessa metade (média dos dois centrais porque são 4 valores) é
Q_1=\frac{15+18}{2}=16{,}5.
  • A metade superior é 25,28,30,35 e sua mediana é
Q_3=\frac{28+30}{2}=29.
  • O intervalo interquartílico é
\text{IQR}=Q_3-Q_1 = 29 - 16{,}5 = 12{,}5.

Passo 8

Coeficiente de variação: definição, cálculo e interpretação.
  • Definição: o coeficiente de variação (CV) é a razão entre o desvio-padrão e a média, normalmente expresso em porcentagem:
\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
  • Usando \sigma\approx 7{,}0044 e \bar{x}=205/9\approx 22{,}777\ldots,
\text{CV} \approx \frac{7{,}0044}{22{,}7777}\times100\% \approx 30{,}73\%.
Interpretação: a variabilidade relativa dos salários é cerca de 30{,}7\% da média.

Passo 9

Resumo final das medidas calculadas para consulta rápida (vou repetir tudo de forma organizada para você decorar/consultar na prova):
  • Média: \bar{x}=\dfrac{205}{9}\approx 22{,}777 (mil R$).
  • Mediana: 22 (mil R$).
  • Moda: sem moda (todos os valores são distintos).
  • Amplitude: 23 (mil R$).
  • Variância populacional: \sigma^2=\dfrac{35766}{729}\approx 49{,}0617 (mil R$)^2.
  • Desvio-padrão populacional: \sigma\approx 7{,}0044 (mil R$).
  • Q_1=16{,}5 (mil R$), Q_3=29 (mil R$), \text{IQR}=12{,}5 (mil R$).
  • Coeficiente de variação: \text{CV}\approx 30{,}73\%.

Resposta

Média: \bar{x}=\dfrac{205}{9}\approx 22{,}777 (mil R$).
Mediana: 22 (mil R$).
Moda: sem moda.
Amplitude: 23 (mil R$).
Variância (pop.): \sigma^2=\dfrac{35766}{729}\approx 49{,}0617 (mil R$)^2.
Desvio-padrão (pop.): \sigma\approx 7{,}0044 (mil R$).
Q_1=16{,}5 (mil R$).
Q_3=29 (mil R$).
IQR: 12{,}5 (mil R$).
Coeficiente de variação: \text{CV}\approx 30{,}73\%.

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