Problema: A tabela indica o número de livros lidos por 30 estudantes no ano. Encontre
e
.
Livros
fi
Fi
0
5
5
1
10
15
2
8
23
3
4
27
4
3
30
| Livros | fi | Fi |
| 0 | 5 | 5 |
| 1 | 10 | 15 |
| 2 | 8 | 23 |
| 3 | 4 | 27 |
| 4 | 3 | 30 |
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
e
a partir da tabela de frequência dos números de livros lidos por
estudantes. As informações relevantes da tabela (peguei os dados da tabela do enunciado) são:
Aqui
é a frequência absoluta da classe (quantos alunos leram
livros) e
é a frequência acumulada até essa classe (quantos alunos leram até
livros). O total de observações é
.
Passo 2
O que é
e como vamos calculá-la?
-
é o segundo quartil, isto é, a mediana da amostra: o valor que deixa dos dados abaixo (ou iguais) e acima, aproximadamente. - Para conjuntos discretos com tabela de frequência usamos a convenção comum de posição da mediana:
onde
é o número total de observações. Aqui
. Eu escolhi essa convenção porque é muito usada em estatística descritiva em provas e livros (outra convenção seria usar
e, se cair exatamente na fronteira, tirar a média dos dois valores centrais; eu explico abaixo que isso não altera nosso resultado para este conjunto).
Passo 3
Calcular a posição da mediana:
Isto significa que a mediana é o valor da observação que ocupa a posição
na lista ordenada dos 30 valores (ou seja, entre a 15ª e a 16ª observação).
Passo 4
Determinar em qual classe essa posição cai, usando as frequências acumuladas (peguei
da tabela):
- Para
: → abrange posições a . - Para
: → abrange posições a . - Para
: → abrange posições a . - Para
: → abrange posições a . - Para
: → abrange posições a .
A posição
está imediatamente depois da posição
e antes da
, logo pertence à classe
(porque as posições
a
correspondem a
). Portanto:
Observação rápida: se tivéssemos usado a convenção alternativa que toma as duas observações centrais (15ª e 16ª) e tira a média, teríamos
valor
da 15ª =
e da 16ª =
, média
. Mas a convenção
dá a posição
e, ao localizar essa posição, obtemos o valor da classe
. Em muitos contextos de tabelas discretas a resposta aceita é
; aqui eu sigo a convenção
.
Passo 5
Agora vamos calcular
(o percentil
).
- Definição prática: o
-ésimo percentil é o valor que deixa dos dados abaixo (ou iguais). A posição deste percentil, usando a mesma convenção, é
- Aqui
e .
Passo 6
Calcular a posição de
:
Isso significa que o percentil
é o valor da observação na posição
.
Passo 7
Determinar em qual classe a posição
cai, usando as mesmas frequências acumuladas (peguei os
da tabela):
- Como visto, posições
a correspondem a . - A posição
está dentro desse intervalo, então o percentil vale .
Assim,
Comentário de consolação: mesmo se usássemos a fórmula alternativa
daria
, que também cai na classe
, então o resultado é robusto neste caso.