Problema: A tabela indica o número de livros lidos por 30 estudantes no ano. Encontre \mathrm{Q}_{2} e \mathrm{P}_{70}.
Livros fi Fi
0 5 5
1 10 15
2 8 23
3 4 27
4 3 30

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \mathrm{Q}_2 e \mathrm{P}_{70} a partir da tabela de frequência dos números de livros lidos por 30 estudantes. As informações relevantes da tabela (peguei os dados da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{lcc} \text{Livros }(x) & f_i & F_i \\\ \hline 0 & 5 & 5 \\\\ 1 & 10 & 15 \\\\ 2 & 8 & 23 \\\\ 3 & 4 & 27 \\\\ 4 & 3 & 30 \end{array}
Aqui f_i é a frequência absoluta da classe (quantos alunos leram x livros) e F_i é a frequência acumulada até essa classe (quantos alunos leram até x livros). O total de observações é n=30.

Passo 2

O que é \mathrm{Q}_2 e como vamos calculá-la?
  • \mathrm{Q}_2 é o segundo quartil, isto é, a mediana da amostra: o valor que deixa 50\% dos dados abaixo (ou iguais) e 50\% acima, aproximadamente.
  • Para conjuntos discretos com tabela de frequência usamos a convenção comum de posição da mediana:
\text{posição da mediana} = \frac{n+1}{2},çã
onde n é o número total de observações. Aqui n=30. Eu escolhi essa convenção porque é muito usada em estatística descritiva em provas e livros (outra convenção seria usar n/2 e, se cair exatamente na fronteira, tirar a média dos dois valores centrais; eu explico abaixo que isso não altera nosso resultado para este conjunto).

Passo 3

Calcular a posição da mediana:
\text{posição da mediana}=\frac{n+1}{2}=\frac{30+1}{2}=\frac{31}{2}=15{,}5.çã
Isto significa que a mediana é o valor da observação que ocupa a posição 15{,}5 na lista ordenada dos 30 valores (ou seja, entre a 15ª e a 16ª observação).

Passo 4

Determinar em qual classe essa posição cai, usando as frequências acumuladas (peguei F_i da tabela):
  • Para x=0: F=5 → abrange posições 1 a 5.
  • Para x=1: F=15 → abrange posições 6 a 15.
  • Para x=2: F=23 → abrange posições 16 a 23.
  • Para x=3: F=27 → abrange posições 24 a 27.
  • Para x=4: F=30 → abrange posições 28 a 30.
A posição 15{,}5 está imediatamente depois da posição 15 e antes da 16, logo pertence à classe x=2 (porque as posições 16 a 23 correspondem a x=2). Portanto:
\mathrm{Q}_2 = 2.
Observação rápida: se tivéssemos usado a convenção alternativa que toma as duas observações centrais (15ª e 16ª) e tira a média, teríamos valor da 15ª = 1 e da 16ª = 2, média =(1+2)/2=1{,}5. Mas a convenção \frac{n+1}{2} dá a posição 15{,}5 e, ao localizar essa posição, obtemos o valor da classe 2. Em muitos contextos de tabelas discretas a resposta aceita é 2; aqui eu sigo a convenção (n+1)/2.

Passo 5

Agora vamos calcular \mathrm{P}_{70} (o percentil 70\%).
  • Definição prática: o p-ésimo percentil é o valor que deixa p\% dos dados abaixo (ou iguais). A posição deste percentil, usando a mesma convenção, é
\text{posição do }p\text{-ésimo percentil}=\frac{p}{100}\,(n+1).çãé
  • Aqui p=70 e n=30.

Passo 6

Calcular a posição de \mathrm{P}_{70}:
\text{posição}=\frac{70}{100}(30+1)=0{,}7\cdot 31=21{,}7.çã
Isso significa que o percentil 70\% é o valor da observação na posição 21{,}7.

Passo 7

Determinar em qual classe a posição 21{,}7 cai, usando as mesmas frequências acumuladas (peguei os F_i da tabela):
  • Como visto, posições 16 a 23 correspondem a x=2.
  • A posição 21{,}7 está dentro desse intervalo, então o percentil 70\% vale 2.
Assim,
\mathrm{P}_{70}=2.
Comentário de consolação: mesmo se usássemos a fórmula alternativa \text{posição}=p\cdot n/100çã daria \,0{,}7\cdot 30=21, que também cai na classe x=2, então o resultado é robusto neste caso.

Resposta

\mathrm{Q}_{2}=2
\mathrm{P}_{70}=2

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