Problema: A distribuição de alturas (cm) de 40 mudas está abaixo. Calcule \mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{3} e \mathrm{P}_{95}. Interprete o resultado.
Altura (\mathrm{cm}) fi Fi
10 \vdash 20 5 5
20 \vdash 30 12 17
30 \vdash 40 15 32
40 \vdash 50 6 38
50 \vdash 60 2 40

Passo 1

O enunciado pede calcular \mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{3} e \mathrm{P}_{95} a partir da distribuição agrupada das alturas. As informações fornecidas são:
\begin{array}{lll} \text{Altura (cm)} & f_i & F_i\\\\ 10\vdash 20 & 5 & 5\\\\ 20\vdash 30 & 12 & 17\\\\ 30\vdash 40 & 15 & 32\\\\ 40\vdash 50 & 6 & 38\\\\ 50\vdash 60 & 2 & 40 \end{array}
Além disso: o total de observações é N=40. As classes têm amplitude h=10 cm (por exemplo, 20\vdash30 quer dizer a classe com limites 20 a 30 cm). Não vamos assumir nada além do que a tabela mostra.

Passo 2

Método usado (explicação didática): para dados agrupados em classes, usamos interpolação linear dentro da classe que contém o quantil desejado. A ideia é que, dentro de uma classe, os elementos estão distribuídos uniformemente — é uma aproximação comum e aceitável em provas quando só temos frequências por classe.
Fórmula geral (quantil de ordem p, com 0<p<1):
Q_p = L + \frac{(pN - F_b)}{f_i}\cdot h
onde
  • Q_p é o quantil procurado (por exemplo \mathrm{Q}_1 tem p=0,25);
  • L é o limite inferior da classe que contém o quantil (em cm);
  • pN é a posição teórica do quantil (por exemplo 0,25\cdot N para \mathrm{Q}_1);
  • F_b é a frequência acumulada antes dessa classe (ou seja, F_i da classe anterior);
  • f_i é a frequência absoluta da classe que contém o quantil;
  • h é a amplitude da classe (aqui h=10 cm).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo para cada quantil. Se algo ficar confuso, respira fundo — eu também já surtei com tabelas antes, mas vamos fazer tranquilo.

Passo 3

Cálculo de \mathrm{Q}_1.
  • Para \mathrm{Q}_1, p=0,25. A posição é pN = 0,25\cdot 40 = 10.
  • Procuramos a primeira classe cujo F_i\ge 10. Pela tabela, F_i=5 na primeira classe e F_i=17 na segunda. Logo a segunda classe 20\vdash 30 contém \mathrm{Q}_1.
  • Na segunda classe: L=20, F_b (acumulado antes da classe) =5, f_i=12, h=10.
  • Aplicando a fórmula:
\mathrm{Q}_1 = 20 + \frac{(10-5)}{12}\cdot 10.
Calculemos passo a passo:
10-5=5, \qquad \frac{5}{12}=\frac{5}{12}\approx 0,4166\ldots, \qquad \frac{5}{12}\cdot 10=\frac{50}{12}\approx 4,166\ldots
Portanto
\mathrm{Q}_1 = 20 + \frac{50}{12}\approx 20 + 4,166\ldots = 24,166\ldots
Arredondando razoavelmente:
\mathrm{Q}_1 \approx 24,17\\ \text{cm}.

Passo 4

Interpretação de \mathrm{Q}_1: aproximadamente 25\% das mudas têm altura menor ou igual a \mathrm{Q}_1. Em termos práticos: cerca de um quarto das mudas mede até 24,17 cm. Isso dá uma ideia do “ponto baixo” da distribuição.

Passo 5

Cálculo de \mathrm{Q}_3.
  • Para \mathrm{Q}_3, p=0,75. A posição é pN = 0,75\cdot 40 = 30.
  • Buscamos a classe com F_i\ge 30. Pela tabela, a terceira classe 30\vdash 40 tem F_i=32 (e a anterior tem F_i=17), então \mathrm{Q}_3 está na terceira classe.
  • Na terceira classe: L=30, F_b=17, f_i=15, h=10.
  • Aplicando a fórmula:
\mathrm{Q}_3 = 30 + \frac{(30-17)}{15}\cdot 10.
Passo a passo:
30-17=13, \qquad \frac{13}{15}\approx 0,8666\ldots, \qquad \frac{13}{15}\cdot 10=\frac{130}{15}\approx 8,666\ldots
Logo
\mathrm{Q}_3 = 30 + \frac{130}{15}\approx 30 + 8,666\ldots = 38,666\ldots
Arredondando:
\mathrm{Q}_3 \approx 38,67\\ \text{cm}.

Passo 6

Interpretação de \mathrm{Q}_3 e IQR.
  • Interpretação: aproximadamente 75\% das mudas têm altura menor ou igual a \mathrm{Q}_3. Ou seja, três quartos das mudas medem até cerca de 38,67 cm.
  • A amplitude interquartílica (IQR) mede a dispersão da metade central:
\mathrm{IQR} = \mathrm{Q}_3 - \mathrm{Q}_1 \approx 38,67 - 24,17 = 14,50\\ \text{cm}.
Significado: o meio dos dados (do 25.º ao 75.º percentil) está espalhado por cerca de 14,5 cm. É uma medida robusta de variabilidade.

Passo 7

Cálculo de \mathrm{P}_{95}.
  • Para \mathrm{P}_{95}, p=0,95. A posição é pN = 0,95\cdot 40 = 38.
  • Procuramos a classe com F_i\ge 38. Pela tabela, a quarta classe 40\vdash 50 tem F_i=38 (exatamente), e a anterior tem F_i=32. Ou seja, o 38.º elemento está no fim da quarta classe.
  • Na quarta classe: L=40, F_b=32, f_i=6, h=10.
  • Aplicando a fórmula:
\mathrm{P}_{95} = 40 + \frac{(38-32)}{6}\cdot 10.
Passo a passo:
38-32=6, \qquad \frac{6}{6}=1, \qquad 1\cdot 10 = 10,
então
\mathrm{P}_{95} = 40 + 10 = 50\\ \text{cm}.

Passo 8

Interpretação de \mathrm{P}_{95}: aproximadamente 95\% das mudas têm altura menor ou igual a 50 cm. Em outras palavras, só cerca de 5\% das mudas (as mais altas) ultrapassam 50 cm. Observação prática: na tabela há 2 mudas na classe 50\vdash60, o que corresponde aos 5\% superiores (2 de 40 = 5%).

Resposta

\mathrm{Q}_1 \approx 24,17\\ \text{cm}
\mathrm{Q}_3 \approx 38,67\\ \text{cm}
\mathrm{P}_{95} = 50\\ \text{cm}

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