Problema: A distribuição de alturas (cm) de 40 mudas está abaixo. Calcule
e
. Interprete o resultado.
Altura
fi
Fi
5
5
12
17
15
32
6
38
2
40
| Altura
|
fi | Fi |
|
|
5 | 5 |
|
|
12 | 17 |
|
|
15 | 32 |
|
|
6 | 38 |
|
|
2 | 40 |
Passo 1
O enunciado pede calcular
,
e
a partir da distribuição agrupada das alturas. As informações fornecidas são:
Além disso: o total de observações é
. As classes têm amplitude
cm (por exemplo,
quer dizer a classe com limites
a
cm). Não vamos assumir nada além do que a tabela mostra.
Passo 2
Método usado (explicação didática): para dados agrupados em classes, usamos interpolação linear dentro da classe que contém o quantil desejado. A ideia é que, dentro de uma classe, os elementos estão distribuídos uniformemente — é uma aproximação comum e aceitável em provas quando só temos frequências por classe.
Fórmula geral (quantil de ordem
, com
):
onde
-
é o quantil procurado (por exemplo tem ); -
é o limite inferior da classe que contém o quantil (em cm); -
é a posição teórica do quantil (por exemplo para ); -
é a frequência acumulada antes dessa classe (ou seja, da classe anterior); -
é a frequência absoluta da classe que contém o quantil; -
é a amplitude da classe (aqui cm).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo para cada quantil. Se algo ficar confuso, respira fundo — eu também já surtei com tabelas antes, mas vamos fazer tranquilo.
Passo 3
Cálculo de
.
- Para
, . A posição é . - Procuramos a primeira classe cujo
. Pela tabela, na primeira classe e na segunda. Logo a segunda classe contém . - Na segunda classe:
, (acumulado antes da classe) , , . - Aplicando a fórmula:
Calculemos passo a passo:
Portanto
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Interpretação de
: aproximadamente
das mudas têm altura menor ou igual a
. Em termos práticos: cerca de um quarto das mudas mede até
cm. Isso dá uma ideia do “ponto baixo” da distribuição.
Passo 5
Cálculo de
.
- Para
, . A posição é . - Buscamos a classe com
. Pela tabela, a terceira classe tem (e a anterior tem ), então está na terceira classe. - Na terceira classe:
, , , . - Aplicando a fórmula:
Passo a passo:
Logo
Arredondando:
Passo 6
Interpretação de
e IQR.
- Interpretação: aproximadamente
das mudas têm altura menor ou igual a . Ou seja, três quartos das mudas medem até cerca de cm. - A amplitude interquartílica (IQR) mede a dispersão da metade central:
Significado: o meio dos dados (do 25.º ao 75.º percentil) está espalhado por cerca de
cm. É uma medida robusta de variabilidade.
Passo 7
Cálculo de
.
- Para
, . A posição é . - Procuramos a classe com
. Pela tabela, a quarta classe tem (exatamente), e a anterior tem . Ou seja, o 38.º elemento está no fim da quarta classe. - Na quarta classe:
, , , . - Aplicando a fórmula:
Passo a passo:
então
Passo 8
Interpretação de
: aproximadamente
das mudas têm altura menor ou igual a
cm. Em outras palavras, só cerca de
das mudas (as mais altas) ultrapassam
cm. Observação prática: na tabela há
mudas na classe
, o que corresponde aos
superiores (2 de 40 = 5%).