• PROBLEMA 5
    (2,5 pontos) Calcule \int \sin (x) e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin(x)\,e^{2x}\,dx
Este é um típico caso de integração por partes, pois temos a multiplicação de uma função trigonométrica \sin(x) e uma função exponencial e^{2x}. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e, como veremos, faremos duas aplicações até aparecer de novo a integral original e podermos resolvê-la.

Passo 2

Definimos na primeira aplicação
u = \sin(x), \quad dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = \cos(x)\,dx, \quad v = \int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}.
Substituindo na fórmula de partes, obtemos
\int \sin(x)\,e^{2x}\,dx = \sin(x)\,\frac{e^{2x}}{2} -\int \frac{e^{2x}}{2}\cos(x)\,dx.
Chamemos a integral restante de
I = \int \sin(x)\,e^{2x}\,dx, \quad I_2 = \int e^{2x}\cos(x)\,dx.
Então até agora temos
I = \frac{e^{2x}\sin(x)}{2} - \frac{1}{2}\,I_2.

Passo 3

Agora calculamos
I_2 = \int e^{2x}\cos(x)\,dx
também por partes, com
u = \cos(x), \quad dv = e^{2x}\,dx,
de onde
du = -\sin(x)\,dx, \quad v = \tfrac{1}{2}e^{2x}.
Logo
I_2 = \cos(x)\,\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,(-\sin(x))\,dx = \frac{e^{2x}\cos(x)}{2} + \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin(x)\,dx.
Ou seja,
I_2 = \frac{e^{2x}\cos(x)}{2} + \frac{1}{2}I.

Passo 4

Voltando à expressão de I:
I = \frac{e^{2x}\sin(x)}{2} - \frac{1}{2}I_2 = \frac{e^{2x}\sin(x)}{2} - \frac{1}{2}\Bigl(\frac{e^{2x}\cos(x)}{2} + \frac{1}{2}I\Bigr).
Distribuindo e somando termos semelhantes:
I = \frac{e^{2x}\sin(x)}{2} - \frac{e^{2x}\cos(x)}{4} - \frac{1}{4}I \;\;\Longrightarrow\;\; I + \frac{1}{4}I = \frac{e^{2x}\sin(x)}{2} - \frac{e^{2x}\cos(x)}{4}.
Como 1 + \tfrac14 = \tfrac54, temos
\frac{5}{4}I = \frac{2e^{2x}\sin(x)}{4} - \frac{e^{2x}\cos(x)}{4} = \frac{e^{2x}}{4}\bigl(2\sin(x)-\cos(x)\bigr).
Multiplicando ambos os lados por \tfrac{4}{5}, resulta
I = \int \sin(x)\,e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{5}\,\bigl(2\sin(x)-\cos(x)\bigr) + C.

Resposta

\int \sin(x)\,e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{5}\,\bigl(2\sin(x)-\cos(x)\bigr) + C.

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