Problema. Um engenheiro ambiental deseja verificar se há relaçāo entre o nível de turbidez da água em um rio (em unidades NTU), medido pela manhā (
), e o tempo (em minutos) que um filtro de areia leva para ficar saturado (y). Suspeita-se que águas mais turvas causem saturaçāo mais rápida do sistema de filtragem. Os dados observados foram:
Turbidez
8
10
12
14
16
18
20
Tempo até Saturar
42
39
36
33
31
29
27
Assuma que há uma relação linear entre as variáveis.
(a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. O que ele indica sobre a relaçāo entre turbidez eo tempo até a saturação do filtro?
(b) Ajuste a reta de regressāo linear simples aos dados. Escreva a equaçāo estimada e interprete os coeficientes.
(c) Calcule o coeficiente de determinação
e interprete seu significado.
(d) Estime o tempo até a saturaçāo para uma amostra com turbidez igual a 13 NTU.
| Turbidez
|
8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| Tempo até Saturar
|
42 | 39 | 36 | 33 | 31 | 29 | 27 |
(a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. O que ele indica sobre a relaçāo entre turbidez eo tempo até a saturação do filtro?
(b) Ajuste a reta de regressāo linear simples aos dados. Escreva a equaçāo estimada e interprete os coeficientes.
(c) Calcule o coeficiente de determinação
(d) Estime o tempo até a saturaçāo para uma amostra com turbidez igual a 13 NTU.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
-
Perguntas:
(a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson e interpretar o que indica sobre a relação entre turbidez e tempo até saturar o filtro.
(b) Ajustar a reta de regressão linear simples e interpretar os coeficientes.
(c) Calcular o coeficiente de determinaçãoe interpretar.
(d) Estimar o tempo até a saturação para turbidezNTU. -
Dados observados (peguei os números da tabela do enunciado):
- Valores de
(turbidez, NTU): . - Valores de
(tempo até saturar, minutos): .
- Valores de
-
Informação assumida: existe relação linear entre
e . Vamos usar modelos e fórmulas de regressão linear simples e de correlação de Pearson.
Passo 2
Cálculos iniciais (somatórios, médias e quadrados) — faço tudo passo a passo para você poder reproduzir na prova.
Calcule
,
,
,
,
e
.
-
(sete pares). -
-
-
-
-
Médias:
Observação: guardei resultados exatos quando possível (por exemplo
é exato).
Passo 3
Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson
. Vou explicar a fórmula e cada peça.
Fórmula (definição prática para dados amostrais):
onde
Calcule
,
,
:
-
-
(usei.) -
Agora
:
Arredondando sensatamente,
.
Breve explicação do que fiz:
mede a covariância (multiplicada por
),
e
medem variâncias (multiplicadas por
). Dividindo, obtemos a correlação normalizada entre
e
.
Passo 4
Interpretação do coeficiente de correlação
.
- Sinal:
é negativo ( ), isto indica que a relação entre turbidez e tempo até saturar é inversa: à medida que a turbidez aumenta, o tempo até saturar tende a diminuir. - Magnitude:
muito próximo de (cerca de ) indica uma associação linear muito forte entre as variáveis. Em termos práticos: os pontos se alinham quase perfeitamente em uma reta decrescente. - Observação prática: correlação não prova causalidade, mas aqui faz sentido físico dizer que águas mais turvas (mais partículas) tendem a saturar o filtro mais rápido — coerente com o sinal negativo.
Passo 5
Ajuste da reta de regressão linear simples por mínimos quadrados — explico a ideia e aplico as fórmulas.
Modelo:
. Os estimadores de mínimos quadrados são:
Calculando:
Logo a reta estimada é
Interpretação dos coeficientes:
-
: estimativa do efeito marginal — para cada aumento de NTU na turbidez, o tempo até a saturação diminui em, em média, minutos, mantendo-se o modelo. -
: intercepto; é o valor estimado de quando (turbidez zero). Em muitos problemas esse valor serve só como referência matemática (a extrapolação a pode não ser fisicamente relevante), então tome cuidado ao interpretá-lo literalmente.
Passo 6
Cálculo e interpretação do coeficiente de determinação
.
- Definição prática:
mede a fração da variabilidade total de explicada pelo modelo linear com . Uma forma útil: na regressão simples (uma regressora). - Como
, temos
Em fração exata vimos que
.
Interpretação: cerca de
da variação observada em
(tempo até saturar) é explicada pela variação em
(turbidez) pela reta ajustada. Resto (
) é variação não explicada pelo modelo linear (erro/resíduos, variabilidade aleatória e fatores não modelados).
Passo 7
Previsão para
NTU (estimativa pontual) — mostro o cálculo.
Utilizo a reta estimada
.
Para
:
Arredondando razoavelmente:
minutos.
Interpretação: para uma amostra com turbidez
NTU, o modelo linear estima que o tempo até a saturação do filtro será cerca de
minutos. Observação: isto é uma interpolação (13 está dentro do intervalo dos
observados), então é uma previsão bastante confiável dado o forte ajuste linear.
Resposta
(a)
. Indica uma relação linear negativa muito forte: maior turbidez está associada a menor tempo até saturar.
(b) . Interpretação: coeficiente angular
significa que cada aumento de
NTU reduz o tempo em
minutos; intercepto
é o valor estimado de
quando
(extrapolação).
(c) (≈
). Significa que cerca de
da variação do tempo até saturar é explicada pela turbidez pelo modelo linear.
(d) Para NTU,
minutos (≈
minutos).
(b)
(c)
(d) Para