Problema. Um engenheiro ambiental deseja verificar se há relaçāo entre o nível de turbidez da água em um rio (em unidades NTU), medido pela manhā ( x ), e o tempo (em minutos) que um filtro de areia leva para ficar saturado (y). Suspeita-se que águas mais turvas causem saturaçāo mais rápida do sistema de filtragem. Os dados observados foram:
Turbidez (x) 8 10 12 14 16 18 20
Tempo até Saturar (y) 42 39 36 33 31 29 27
Assuma que há uma relação linear entre as variáveis.
(a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. O que ele indica sobre a relaçāo entre turbidez eo tempo até a saturação do filtro?
(b) Ajuste a reta de regressāo linear simples aos dados. Escreva a equaçāo estimada e interprete os coeficientes.
(c) Calcule o coeficiente de determinação R^{2} e interprete seu significado.
(d) Estime o tempo até a saturaçāo para uma amostra com turbidez igual a 13 NTU.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson e interpretar o que indica sobre a relação entre turbidez e tempo até saturar o filtro.
    (b) Ajustar a reta de regressão linear simples e interpretar os coeficientes.
    (c) Calcular o coeficiente de determinação R^{2} e interpretar.
    (d) Estimar o tempo até a saturação para turbidez x=13 NTU.
  • Dados observados (peguei os números da tabela do enunciado):
    • Valores de x (turbidez, NTU): 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
    • Valores de y (tempo até saturar, minutos): 42, 39, 36, 33, 31, 29, 27.
  • Informação assumida: existe relação linear entre x e y. Vamos usar modelos e fórmulas de regressão linear simples e de correlação de Pearson.

Passo 2

Cálculos iniciais (somatórios, médias e quadrados) — faço tudo passo a passo para você poder reproduzir na prova.
Calcule n, \sum x, \sum y, \sum x^{2}, \sum y^{2} e \sum xy.
  • n=7 (sete pares).
  • \displaystyle \sum x = 8+10+12+14+16+18+20 = 98.
  • \displaystyle \sum y = 42+39+36+33+31+29+27 = 237.
  • \displaystyle \sum x^{2} = 8^{2}+10^{2}+12^{2}+14^{2}+16^{2}+18^{2}+20^{2} = 1484.
  • \displaystyle \sum y^{2} = 42^{2}+39^{2}+36^{2}+33^{2}+31^{2}+29^{2}+27^{2} = 8201.
  • \displaystyle \sum xy = 8\cdot42+10\cdot39+12\cdot36+14\cdot33+16\cdot31+18\cdot29+20\cdot27 = 3178.
Médias:
  • \displaystyle \bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{98}{7}=14.
  • \displaystyle \bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{237}{7}=33,857142857\ldots
Observação: guardei resultados exatos quando possível (por exemplo \bar{x}=14 é exato).

Passo 3

Cálculo do coeficiente de correlação de Pearson r. Vou explicar a fórmula e cada peça.
Fórmula (definição prática para dados amostrais):
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}},
onde
S_{xx}=\sum x^{2}-n\bar{x}^{2},\qquad S_{yy}=\sum y^{2}-n\bar{y}^{2},\qquad S_{xy}=\sum xy - n\bar{x}\bar{y}.
Calcule S_{xx}, S_{xy}, S_{yy}:
  • \displaystyle S_{xx}=\sum x^{2}-n\bar{x}^{2}=1484-7\cdot14^{2}=1484-1372=112.
  • \displaystyle S_{xy}=\sum xy - n\bar{x}\bar{y}=3178-98\cdot\frac{237}{7}=3178-3318=-140.
    (usei \sum x\sum y / n = 98\cdot237/7 = 14\cdot237 =3318.)
  • \displaystyle S_{yy}=\sum y^{2}-n\bar{y}^{2}=8201-\frac{237^{2}}{7}=8201-\frac{56169}{7}=\frac{1238}{7}=176,857142857\ldots
Agora r:
r=\frac{-140}{\sqrt{112\cdot\frac{1238}{7}}} =\frac{-140}{\sqrt{19808}} \approx -0,99474\ldots
Arredondando sensatamente, \displaystyle r\approx -0,9947.
Breve explicação do que fiz: S_{xy} mede a covariância (multiplicada por n), S_{xx} e S_{yy} medem variâncias (multiplicadas por n). Dividindo, obtemos a correlação normalizada entre -1 e 1.

Passo 4

Interpretação do coeficiente de correlação r.
  • Sinal: r é negativo ( r\approx -0,9947), isto indica que a relação entre turbidez x e tempo até saturar y é inversa: à medida que a turbidez aumenta, o tempo até saturar tende a diminuir.
  • Magnitude: |r| muito próximo de 1 (cerca de 0,995) indica uma associação linear muito forte entre as variáveis. Em termos práticos: os pontos se alinham quase perfeitamente em uma reta decrescente.
  • Observação prática: correlação não prova causalidade, mas aqui faz sentido físico dizer que águas mais turvas (mais partículas) tendem a saturar o filtro mais rápido — coerente com o sinal negativo.

Passo 5

Ajuste da reta de regressão linear simples por mínimos quadrados — explico a ideia e aplico as fórmulas.
Modelo: \displaystyle y=\beta_{0}+\beta_{1}x+\varepsilon. Os estimadores de mínimos quadrados são:
\hat{\beta}_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_{0}=\bar{y}-\hat{\beta}_{1}\bar{x}.
Calculando:
  • \displaystyle \hat{\beta}_{1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{-140}{112}=-\frac{5}{4}=-1,25.
  • \displaystyle \hat{\beta}_{0}=\bar{y}-\hat{\beta}_{1}\bar{x}= \frac{237}{7}-\left(-\frac{5}{4}\right)\cdot14 = \frac{237}{7} + \frac{70}{4}=\frac{719}{14}\approx 51,357142857.
Logo a reta estimada é
\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x \quad\text{ou}\quad \hat{y}=51,357142857 - 1,25\,x.
Interpretação dos coeficientes:
  • \hat{\beta}_{1}=-1,25: estimativa do efeito marginal — para cada aumento de 1 NTU na turbidez, o tempo até a saturação diminui em, em média, 1,25 minutos, mantendo-se o modelo.
  • \hat{\beta}_{0}\approx 51,357: intercepto; é o valor estimado de y quando x=0 (turbidez zero). Em muitos problemas esse valor serve só como referência matemática (a extrapolação a x=0 pode não ser fisicamente relevante), então tome cuidado ao interpretá-lo literalmente.

Passo 6

Cálculo e interpretação do coeficiente de determinação R^{2}.
  • Definição prática: R^{2} mede a fração da variabilidade total de y explicada pelo modelo linear com x. Uma forma útil: R^{2}=r^{2} na regressão simples (uma regressora).
  • Como r\approx -0,99474, temos
R^{2}=r^{2}\approx ( -0,99474)^{2}\approx 0,9895.
Em fração exata vimos que R^{2}=\dfrac{19600}{19808}=\dfrac{1225}{1238}\approx0,9895.
Interpretação: cerca de 98,95\% da variação observada em y (tempo até saturar) é explicada pela variação em x (turbidez) pela reta ajustada. Resto ( \approx 1,05\%) é variação não explicada pelo modelo linear (erro/resíduos, variabilidade aleatória e fatores não modelados).

Passo 7

Previsão para x=13 NTU (estimativa pontual) — mostro o cálculo.
Utilizo a reta estimada \hat{y}=51,357142857 - 1,25x.
Para x=13:
\hat{y}(13)=51,357142857 - 1,25\cdot 13 =51,357142857 - 16,25 =35,107142857.
Arredondando razoavelmente: \hat{y}(13)\approx 35,11 minutos.
Interpretação: para uma amostra com turbidez 13 NTU, o modelo linear estima que o tempo até a saturação do filtro será cerca de 35,11 minutos. Observação: isto é uma interpolação (13 está dentro do intervalo dos x observados), então é uma previsão bastante confiável dado o forte ajuste linear.

Resposta

(a) r\approx -0,9947. Indica uma relação linear negativa muito forte: maior turbidez está associada a menor tempo até saturar.
(b) \hat{y}=51,357142857-1,25\,x. Interpretação: coeficiente angular \hat{\beta}_{1}=-1,25 significa que cada aumento de 1 NTU reduz o tempo em \approx 1,25 minutos; intercepto \hat{\beta}_{0}\approx 51,357 é o valor estimado de y quando x=0 (extrapolação).
(c) R^{2}\approx 0,9895 (≈ 98,95\%). Significa que cerca de 98,95\% da variação do tempo até saturar é explicada pela turbidez pelo modelo linear.
(d) Para x=13 NTU, \hat{y}(13)\approx 35,107142857 minutos (≈ 35,11 minutos).

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