Uma empresa de Engenharia de Produção fabrica cabos metálicos que devem suportar, em média, 5,000 \mathrm{~N} de força antes da ruptura. O desvio padrão da força que os cabos suportam antes da ruptura é 400 N.
Após uma mudança no fornecedor da matéria-prima, foi testada uma amostra aleatória de n=36 cabos, obtendo-se média amostral \bar{x}=4,920 \mathrm{~N}.
Utilize nível de significância de 2 \% para verificar se a resistência diminuiu.
(a) Formule as hipóteses.
(b) Diga qual é a estatística de teste e sua distribuição.
(c) Determine a regiāo critica.
(d) Apresente a conclusāo do teste, interpretando o resultado no contexto da Engenharia de Produção.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • média desejada (hipótese nula): \mu_0 = 5{,}000\\ \mathrm{N}.
    • desvio padrão populacional conhecido: \sigma = 400\\ \mathrm{N}.
    • tamanho da amostra: n = 36.
    • média amostral obtida: \bar{x} = 4{,}920\\ \mathrm{N}.
    • nível de significância: \alpha = 0{,}02 (ou seja, 2\%).
  • O enunciado pede:
    (a) formular as hipóteses;
    (b) indicar a estatística de teste e sua distribuição;
    (c) determinar a região crítica;
    (d) apresentar a conclusão do teste e interpretar no contexto da Engenharia de Produção.

Passo 2

(a) Formular as hipóteses (explicação curta sobre o que cada hipótese representa).
  • A hipótese nula H_0 representa que a resistência média não diminuiu, ou seja: H_0:\\ \mu = 5{,}000\\ \mathrm{N}.
  • A hipótese alternativa H_1 representa que a resistência média diminuiu (teste unilateral à esquerda): H_1:\\ \mu < 5{,}000\\ \mathrm{N}.

Passo 3

(b) Qual é a estatística de teste e por que usá-la? (aula rápida)
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido ( \sigma=400) e a amostra tem tamanho n=36 (razão suficiente para usar a normal), usa-se o teste-z (teste para a média com \sigma conhecido).
  • Definição da estatística de teste: a estatística padronizada é Z \;=\; \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.Explicando cada símbolo:
    • \bar{X} é a média amostral (aqui observada como \bar{x}=4{,}920).
    • \mu_0 é o valor da média segundo H_0 (aqui 5{,}000).
    • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui 400).
    • n é o tamanho da amostra (aqui 36).
  • Distribuição da estatística sob H_0: \,Z \sim N(0,1) (distribuição normal padrão).

Passo 4

(cálculo numérico da estatística passo a passo)
  • Primeiro calcule o erro padrão da média: \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{400}{\sqrt{36}} = \frac{400}{6} = 66{,}666\ldots\\ \mathrm{N}.
  • Calcule a diferença entre a média amostral e \mu_0: \bar{x}-\mu_0 = 4{,}920 - 5{,}000 = -80\\ \mathrm{N}.
  • Calcule a estatística Z: Z_{\text{obs}} = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{-80}{66{,}666\ldots} = -1{,}2.

Passo 5

(c) Determinar a região crítica (explicando o raciocínio)
  • Como o teste é unilateral à esquerda e o nível de significância é \alpha=0{,}02, a região crítica é a cauda esquerda da normal padrão com probabilidade \alpha. Ou seja, rejeita-se H_0 se Z < z_{\alpha},onde z_{\alpha} é o quantil de nível \alpha da N(0,1).
  • O valor crítico para \alpha=0{,}02 é aproximadamente z_{0{,}02} \approx -2{,}0537.
  • Logo a região crítica é \text{RC} = \{Z:\\ Z < -2{,}0537\}.
  • Conferência numérica útil (limiar da média amostral para rejeitar): resolver \bar{x}_{\text{crit}} = \mu_0 + z_{0{,}02}\,\sigma_{\bar{X}}: \bar{x}_{\text{crit}} \approx 5{,}000 + (-2{,}0537)\cdot 66{,}666\ldots \approx 4{,}863{,}1\\ \mathrm{N}.Isso significa que só se a média amostral fosse menor que cerca de 4{,}863{,}1\\ \mathrm{N} rejeitaríamos H_0 a 2%.

Passo 6

(d) Tomada de decisão e interpretação (inclui p-valor para ajudar a entender)
  • Comparação quantitativa:
    • Estatística observada: Z_{\text{obs}} = -1{,}2.
    • Região crítica: Z < -2{,}0537.
    • Como -1{,}2 > -2{,}0537, a estatística observada NÃO cai na região crítica.
  • P-valor (interpretação alternativa): p-valor = P(Z \le -1{,}2). Pelo quadro padrão, \Phi(1{,}2)\approx 0{,}8849, então \text{p-valor} = 1-\Phi(1{,}2) \approx 0{,}1151.Como \text{p-valor}\approx 0{,}1151 > \alpha=0{,}02, também não rejeitamos H_0.
  • Conclusão em linguagem do contexto:
    • Não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância de 2\%, para afirmar que a resistência média dos cabos diminuiu após a mudança do fornecedor. Embora a média amostral observada ( 4{,}920\\ \mathrm{N}) seja menor que o alvo ( 5{,}000\\ \mathrm{N}), a queda não é grande o bastante (com a amostra disponível) para ser considerada estatisticamente significativa a 2\%.
  • Observação prática (aconselhamento breve): para detectar uma diminuição menor com maior confiança, poderia-se aumentar o tamanho da amostra ou revisar o controle de qualidade do processo.

Resposta

(a) H_0:\\ \mu = 5{,}000\\ \mathrm{N} \quad H_1:\\ \mu < 5{,}000\\ \mathrm{N}
(b) Estatística: \displaystyle Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}, com Z\sim N(0,1) sob H_0.
(c) Região crítica: \{Z: Z < z_{0{,}02}\} com z_{0{,}02}\approx -2{,}0537 (equivalente a \bar{x}<4{,}863{,}1\\ \mathrm{N}).
(d) Decisão: Z_{\text{obs}}=-1{,}2 não está na região crítica (p-valor \approx 0{,}1151>\,0{,}02). Conclusão: não rejeita-se H_0; não há evidência estatística, ao nível de 2\%, de que a resistência média diminuiu.

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