Uma empresa de Engenharia de Produção fabrica cabos metálicos que devem suportar, em média,
de força antes da ruptura. O desvio padrão da força que os cabos suportam antes da ruptura é
.
Após uma mudança no fornecedor da matéria-prima, foi testada uma amostra aleatória de
cabos, obtendo-se média amostral
.
Utilize nível de significância de
para verificar se a resistência diminuiu.
(a) Formule as hipóteses.
(b) Diga qual é a estatística de teste e sua distribuição.
(c) Determine a regiāo critica.
(d) Apresente a conclusāo do teste, interpretando o resultado no contexto da Engenharia de Produção.
(a) Formule as hipóteses.
(b) Diga qual é a estatística de teste e sua distribuição.
(c) Determine a regiāo critica.
(d) Apresente a conclusāo do teste, interpretando o resultado no contexto da Engenharia de Produção.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- média desejada (hipótese nula):
. - desvio padrão populacional conhecido:
. - tamanho da amostra:
. - média amostral obtida:
. - nível de significância:
(ou seja, ).
- média desejada (hipótese nula):
-
O enunciado pede:
(a) formular as hipóteses;
(b) indicar a estatística de teste e sua distribuição;
(c) determinar a região crítica;
(d) apresentar a conclusão do teste e interpretar no contexto da Engenharia de Produção.
Passo 2
(a) Formular as hipóteses (explicação curta sobre o que cada hipótese representa).
- A hipótese nula
representa que a resistência média não diminuiu, ou seja: - A hipótese alternativa
representa que a resistência média diminuiu (teste unilateral à esquerda):
Passo 3
(b) Qual é a estatística de teste e por que usá-la? (aula rápida)
- Como o desvio padrão populacional
é conhecido ( ) e a amostra tem tamanho (razão suficiente para usar a normal), usa-se o teste-z (teste para a média com conhecido). - Definição da estatística de teste: a estatística padronizada é
Explicando cada símbolo: -
é a média amostral (aqui observada como ). -
é o valor da média segundo (aqui ). -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ).
-
- Distribuição da estatística sob
: (distribuição normal padrão).
Passo 4
(cálculo numérico da estatística passo a passo)
- Primeiro calcule o erro padrão da média:
- Calcule a diferença entre a média amostral e
: - Calcule a estatística
:
Passo 5
(c) Determinar a região crítica (explicando o raciocínio)
- Como o teste é unilateral à esquerda e o nível de significância é
, a região crítica é a cauda esquerda da normal padrão com probabilidade . Ou seja, rejeita-se se onde é o quantil de nível da . - O valor crítico para
é aproximadamente - Logo a região crítica é
- Conferência numérica útil (limiar da média amostral para rejeitar): resolver
: Isso significa que só se a média amostral fosse menor que cerca de rejeitaríamos a 2%.
Passo 6
(d) Tomada de decisão e interpretação (inclui p-valor para ajudar a entender)
- Comparação quantitativa:
- Estatística observada:
. - Região crítica:
. - Como
, a estatística observada NÃO cai na região crítica.
- Estatística observada:
- P-valor (interpretação alternativa): p-valor
. Pelo quadro padrão, , então Como , também não rejeitamos . - Conclusão em linguagem do contexto:
- Não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância de
, para afirmar que a resistência média dos cabos diminuiu após a mudança do fornecedor. Embora a média amostral observada ( ) seja menor que o alvo ( ), a queda não é grande o bastante (com a amostra disponível) para ser considerada estatisticamente significativa a .
- Não há evidência estatística suficiente, ao nível de significância de
- Observação prática (aconselhamento breve): para detectar uma diminuição menor com maior confiança, poderia-se aumentar o tamanho da amostra ou revisar o controle de qualidade do processo.
Resposta
(a)
(b) Estatística: , com
sob
.
(c) Região crítica: com
(equivalente a
).
(d) Decisão: não está na região crítica (p-valor
). Conclusão: não rejeita-se
; não há evidência estatística, ao nível de
, de que a resistência média diminuiu.
(b) Estatística:
(c) Região crítica:
(d) Decisão: