Em uma inspeção estrutural realizada em um conjunto de pilares de concreto, engenheiros civis analisaram a presença de fissuras superficiais. Em uma amostra aleatória de n=150 pilares, verificou-se que x=39 apresentavam algum tipo de fissura.
Construa um intervalo de confiança de 96 \% para a proporção verdadeira de pilares com fissuras.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de n=150 pilares, dos quais x=39 apresentaram fissuras. A tarefa é construir um intervalo de confiança de 96\% para a proporção verdadeira p de pilares com fissuras.
Informações relevantes fornecidas:
  • n=150 (tamanho da amostra).
  • x=39 (número de pilares com fissuras na amostra).
  • Nível de confiança: 96\%.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p}, que é a estimativa pontual de p. A definição é:
\hat{p}=\frac{x}{n}.
Substituindo os valores dados:
\hat{p}=\frac{39}{150}=0,26.
Interpretação: na amostra, 26\% dos pilares apresentaram fissuras; isso serve de ponto de partida para o intervalo de confiança.

Passo 3

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para uma proporção usando aproximação normal (método mais comum em provas):
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (calculada no passo anterior).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a \alpha/2 (critério de confiança).
  • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção.
    Explicação curta: o intervalo centraliza em \hat{p} e se estende a mais/menos um número de erros padrão, esse número vindo da normal padrão para capturar a probabilidade desejada.

Passo 4

Verificar a validade da aproximação normal (condição prática): é comum exigir n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5. Calcular:
n\hat{p}=150\cdot 0,26=39\ge 5,
n(1-\hat{p})=150\cdot 0,74=111\ge 5.
Como ambas são maiores que 5, a aproximação normal é adequada aqui.

Passo 5

Determinar z_{\alpha/2} para nível de confiança 96\%. Primeiro achar \alpha:
\alpha=1-0{,}96=0{,}04,
logo
\alpha/2=0{,}02.
Precisamos do quantil z tal que \Pr(Z\le z)=1-\alpha/2=0{,}98. Pela tabela da normal padrão ou calculadora, esse quantil é aproximadamente
z_{0{,}02}\approx 2{,}0537.
Explicação rápida: para 95% usa-se 1{,}96; para 96% é um pouco maior, cerca de 2{,}0537.

Passo 6

Calcular o erro padrão \mathrm{SE}=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}. Fazer as contas passo a passo:
\hat{p}(1-\hat{p})=0{,}26\cdot 0{,}74=0{,}1924.
Dividindo por n:
\frac{0{,}1924}{150}=0{,}001282666\ldots
Agora a raiz quadrada:
\mathrm{SE}=\sqrt{0{,}001282666\ldots}\approx 0{,}03582.
Interpretação: esse é o desvio padrão da distribuição amostral da proporção, ou seja, quanto a proporção amostral típicamente varia ao redor da verdadeira proporção.

Passo 7

Calcular a margem de erro E=z_{\alpha/2}\cdot\mathrm{SE}:
E\approx 2{,}0537\times 0{,}03582\approx 0{,}0736.
Interpretação: com 96\% de confiança, estima-se que a diferença entre \hat{p} e p esteja, em módulo, até cerca de 0{,}0736.

Passo 8

Calcular os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\hat{p}-E=0{,}26-0{,}0736\approx 0{,}1864,
\text{limite superior}=\hat{p}+E=0{,}26+0{,}0736\approx 0{,}3336.
Arredondando de forma prática para três casas decimais (útil em provas e relatórios):
\text{intervalo de confiança de }96\%:\\ [0{,}186,\\\ 0{,}334].ç

Resposta

[0{,}186,\\\ 0{,}334]

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