Em uma inspeção estrutural realizada em um conjunto de pilares de concreto, engenheiros civis analisaram a presença de fissuras superficiais. Em uma amostra aleatória de
pilares, verificou-se que
apresentavam algum tipo de fissura.
Construa um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de pilares com fissuras.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória de
pilares, dos quais
apresentaram fissuras. A tarefa é construir um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira
de pilares com fissuras.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
(tamanho da amostra). -
(número de pilares com fissuras na amostra). - Nível de confiança:
.
Passo 2
Calcular a proporção amostral
, que é a estimativa pontual de
. A definição é:
Substituindo os valores dados:
Interpretação: na amostra,
dos pilares apresentaram fissuras; isso serve de ponto de partida para o intervalo de confiança.
Passo 3
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para uma proporção usando aproximação normal (método mais comum em provas):
Onde:
-
é a proporção amostral (calculada no passo anterior). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a (critério de confiança). -
é o erro padrão da proporção.
Explicação curta: o intervalo centraliza eme se estende a mais/menos um número de erros padrão, esse número vindo da normal padrão para capturar a probabilidade desejada.
Passo 4
Verificar a validade da aproximação normal (condição prática): é comum exigir
e
. Calcular:
Como ambas são maiores que
, a aproximação normal é adequada aqui.
Passo 5
Determinar
para nível de confiança
. Primeiro achar
:
logo
Precisamos do quantil
tal que
. Pela tabela da normal padrão ou calculadora, esse quantil é aproximadamente
Explicação rápida: para 95% usa-se
; para 96% é um pouco maior, cerca de
.
Passo 6
Calcular o erro padrão
. Fazer as contas passo a passo:
Dividindo por
:
Agora a raiz quadrada:
Interpretação: esse é o desvio padrão da distribuição amostral da proporção, ou seja, quanto a proporção amostral típicamente varia ao redor da verdadeira proporção.
Passo 7
Calcular a margem de erro
:
Interpretação: com
de confiança, estima-se que a diferença entre
e
esteja, em módulo, até cerca de
.
Passo 8
Calcular os limites do intervalo:
Arredondando de forma prática para três casas decimais (útil em provas e relatórios):