Problema 2 Em uma escala linear de temperatura X , a água congela a
e evapora a
. Em uma escala linear Y , a água congela a
e evapora a
, Uma temperatura de
corresponde a que temperatura na escala X ?
Passo 1
O que o enunciado pede: converter uma temperatura de
para a escala
.\n
Informações dadas (valores fornecidos no enunciado):
Informações dadas (valores fornecidos no enunciado):
Passo 2
Entendimento e modelo matemático (explicação didática): como as escalas são lineares, existe uma relação affine (reta) entre as temperaturas nas duas escalas. Escrevemos essa relação como
onde
é a inclinação (quanto em
muda quando aumentamos uma unidade em
) e
é a ordenada na origem (o valor de
quando
). A nossa tarefa é achar
e
usando os pontos conhecidos e depois calcular
quando
.
Passo 3
Usamos os dois pares correspondentes (congele/evapore) para montar um sistema. Do ponto “congelamento”:
Do ponto “ebulição”:
Isso nos dá duas equações lineares em
e
.
Passo 4
Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar
e encontrar
. Escrevendo:
No lado esquerdo temos
. No lado direito fatoramos
:
Calculando a diferença entre os
:
Portanto
Isolando
,
Passo 5
Com
, voltamos a uma das equações para achar
. Usando a equação do congelamento:
Calculando
. Então
Isolando
,
Passo 6
Montamos a fórmula de conversão completa entre escalas:
Aqui você pode interpretar: cada aumento de
corresponde a
, e quando
a escala X marca
.
Passo 7
Calcular
quando
. Substituímos na fórmula:
Fazendo as contas passo a passo:
. Então
Portanto
corresponde a
.
Passo 8
Checagem rápida (controle de consistência): para
a fórmula dá
(concorda com congelamento). Para
dá
(concorda com ebulição). Logo a fórmula está correta.