Problema 2 Em uma escala linear de temperatura X , a água congela a -100^{\circ} \mathrm{X} e evapora a 300^{\circ} \mathrm{X}. Em uma escala linear Y , a água congela a -130^{\circ} \mathrm{Y} e evapora a -30^{\circ} \mathrm{Y}, Uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{Y} corresponde a que temperatura na escala X ?

Passo 1

O que o enunciado pede: converter uma temperatura de \,20^\circ \mathrm{Y}\, para a escala \mathrm{X}.\n
Informações dadas (valores fornecidos no enunciado):
\text{Água congela em } -100^\circ \mathrm{X}Á
\text{Água evapora em } 300^\circ \mathrm{X}Á
\text{Água congela em } -130^\circ \mathrm{Y}Á
\text{Água evapora em } -30^\circ \mathrm{Y}Á

Passo 2

Entendimento e modelo matemático (explicação didática): como as escalas são lineares, existe uma relação affine (reta) entre as temperaturas nas duas escalas. Escrevemos essa relação como
X = a\,Y + b,
onde \,a é a inclinação (quanto em \mathrm{X} muda quando aumentamos uma unidade em \mathrm{Y}) e \,b é a ordenada na origem (o valor de \mathrm{X} quando \mathrm{Y}=0). A nossa tarefa é achar a e b usando os pontos conhecidos e depois calcular X quando Y=20.

Passo 3

Usamos os dois pares correspondentes (congele/evapore) para montar um sistema. Do ponto “congelamento”:
-100 = a(-130) + b.
Do ponto “ebulição”:
300 = a(-30) + b.
Isso nos dá duas equações lineares em a e b.

Passo 4

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar b e encontrar a. Escrevendo:
300 - (-100) = a(-30) - a(-130).
No lado esquerdo temos 300 - (-100)=400. No lado direito fatoramos a:
400 = a\bigl(-30 - (-130)\bigr).
Calculando a diferença entre os Y:
-30 - (-130) = -30 + 130 = 100.
Portanto
400 = a \cdot 100.
Isolando a,
a = \frac{400}{100} = 4.

Passo 5

Com a=4, voltamos a uma das equações para achar b. Usando a equação do congelamento:
-100 = 4\cdot(-130) + b.
Calculando 4\cdot(-130) = -520. Então
-100 = -520 + b.
Isolando b,
b = -100 + 520 = 420.

Passo 6

Montamos a fórmula de conversão completa entre escalas:
X = 4\,Y + 420.
Aqui você pode interpretar: cada aumento de 1^\circ\mathrm{Y} corresponde a 4^\circ\mathrm{X}, e quando Y=0 a escala X marca 420^\circ\mathrm{X}.

Passo 7

Calcular X quando Y=20. Substituímos na fórmula:
X = 4\cdot 20 + 420.
Fazendo as contas passo a passo: 4\cdot 20 = 80. Então
X = 80 + 420 = 500.
Portanto 20^\circ \mathrm{Y} corresponde a 500^\circ \mathrm{X}.

Passo 8

Checagem rápida (controle de consistência): para Y=-130 a fórmula dá X=4(-130)+420=-520+420=-100 (concorda com congelamento). Para Y=-30 X=4(-30)+420=-120+420=300 (concorda com ebulição). Logo a fórmula está correta.

Resposta

\;500^\circ \mathrm{X}

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