Problema: Escrever uma expressão algébrica que denote uma função polinomial do segundo grau para representar o comportamento da bateria do telefone celular.
Tempo (em minutos) 0 15 30 45 60 75
Percentual da carga completa (em %) 0 27 48 61 77 92

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.
  • Pede-se: escrever uma expressão algébrica que denote uma função polinomial do segundo grau que represente o comportamento da carga da bateria em função do tempo.
  • Dados (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    • Tempos t (em minutos): 0,\;15,\;30,\;45,\;60,\;75.
    • Percentual de carga y (em %): 0,\;27,\;48,\;61,\;77,\;92.
Resumindo: queremos um polinômio de grau 2 da forma y = a t^{2} + b t + c que se ajuste a esses seis pontos.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (aula rápida sobre regressão por mínimos quadrados).
  • Como há mais de três pontos, em geral não existe um polinômio quadrático que passe exatamente por todos eles. A forma natural de obter uma função que “melhor” descreva os dados é usar regressão por mínimos quadrados: escolhemos a,b,c\) que minimizam a soma dos quadrados dos erros \(\sum_{i}(y_i - (a t_i^{2}+b t_i + c))^{2}\). - A condição de mínimo dá um sistema linear (as chamadas equações normais): \[\begin{cases} \displaystyle \sum y_i = a\sum t_i^{2} + b\sum t_i + c\,n,\\[6pt] \displaystyle \sum t_i y_i = a\sum t_i^{3} + b\sum t_i^{2} + c\sum t_i,\\[6pt] \displaystyle \sum t_i^{2} y_i = a\sum t_i^{4} + b\sum t_i^{3} + c\sum t_i^{2}, \end{cases}onde n\] é o número de pontos (\(n=6 aqui) e todas as somas são sobre os seis pontos. A partir daí resolve-se o sistema para a,b,c.]

Passo 3

Estratégia para facilitar as contas (dica prática e justificativa).
  • Para evitar manipular números muito grandes (potências de 75 etc.), é comum reescalar a variável. Aqui escolho u=\frac{t}{15},porque os tempos são múltiplos de 15. Assim os valores de u são 0,1,2,3,4,5 — bem menores.
  • Escrevemos o modelo em u: y = \alpha u^{2} + \beta u + \gamma.Depois voltamos a t com u=t/15. A relação entre coeficientes é a=\frac{\alpha}{15^{2}}=\frac{\alpha}{225},\qquad b=\frac{\beta}{15},\qquad c=\gamma.

Passo 4

Calcular todas as somas necessárias usando u (mostrando as contas).
  • Valores u: 0,1,2,3,4,5.
  • n=6.
  • \displaystyle \sum u = 0+1+2+3+4+5 = 15.
  • \displaystyle \sum u^{2} = 0+1+4+9+16+25 = 55.
  • \displaystyle \sum u^{3} = 0+1+8+27+64+125 = 225.
  • \displaystyle \sum u^{4} = 0+1+16+81+256+625 = 979.
  • \displaystyle \sum y = 0+27+48+61+77+92 = 305. (peguei estes y da tabela)
  • \displaystyle \sum u y = 0\cdot0 + 1\cdot27 + 2\cdot48 + 3\cdot61 + 4\cdot77 + 5\cdot92 = 1074.
    (cálculo passo a passo: 27+96+183+308+460=1074)
  • \displaystyle \sum u^{2} y = 0\cdot0 + 1\cdot27 + 4\cdot48 + 9\cdot61 + 16\cdot77 + 25\cdot92 = 4300.
    (cálculo passo a passo: 27+192+549+1232+2300=4300)

Passo 5

Escrever as equações normais em [u) com os números obtidos.
As equações normais (para \alpha,\beta,\gamma) ficam:
\begin{cases} 55\alpha + 15\beta + 6\gamma = 305,\\[4pt] 225\alpha + 55\beta + 15\gamma = 1074,\\[4pt] 979\alpha + 225\beta + 55\gamma = 4300. \end{cases}
Vou resolver esse sistema para (\alpha,\beta,\gamma].]

Passo 6

Eliminar [\gamma) e obter um sistema em \alpha,\beta (eliminação por combinação linear).
  • Multiplico a primeira equação por 15 e a segunda por 6 para eliminar \gamma: \begin{cases} 825\alpha + 225\beta + 90\gamma = 4575,\\\\ 1350\alpha + 330\beta + 90\gamma = 6444. \end{cases}Subtraindo a primeira da segunda: 525\alpha + 105\beta = 1869.Dividindo por 21\] (para simplificar): \[25\alpha + 5\beta = 89. \tag{A}\] - Agora multiplicar a primeira equação por \(55 e a terceira por 6: \begin{cases} 3025\alpha + 825\beta + 330\gamma = 16775,\\\\ 5874\alpha + 1350\beta + 330\gamma = 25800. \end{cases}Subtraindo a primeira da segunda: 2849\alpha + 525\beta = 9025. \tag{B}
Agora resolvemos o sistema formado por (A) e (B):
\begin{cases} 25\alpha + 5\beta = 89,\\\\ 2849\alpha + 525\beta = 9025. \end{cases}

Passo 7

Resolver as duas equações para \alpha e \beta.
  • Da equação (A): \displaystyle \beta = \frac{89 - 25\alpha}{5}.
  • Substituindo em (B): 2849\alpha + 525\cdot\frac{89-25\alpha}{5} = 9025.Como \displaystyle \frac{525}{5}=105, obtemos 2849\alpha + 105(89 - 25\alpha) = 9025.Fazendo as contas: 2849\alpha + 9345 -2625\alpha = 9025 \;\Rightarrow\; 224\alpha = -320.Logo \alpha = -\frac{320}{224} = -\frac{10}{7}.
  • Agora \beta = \dfrac{89 -25\alpha}{5} = \dfrac{89 -25\cdot(-10/7)}{5} = \dfrac{873}{35}.

Passo 8

Calcular \gamma e converter para os coeficientes em t.
  • Usando a primeira equação 55\alpha + 15\beta + 6\gamma = 305: 6\gamma = 305 - 55\alpha - 15\beta.Substituindo \alpha e \beta: 6\gamma = \frac{2135}{7} - \left(-\frac{550}{7}\right) - \frac{2619}{7} = \frac{66}{7},portanto \gamma = \frac{11}{7}.
  • Lembrete da relação entre (\alpha,\beta,\gamma) e (a,b,c) para voltar a t: a=\frac{\alpha}{225},\qquad b=\frac{\beta}{15},\qquad c=\gamma.Substituindo: a = \frac{-10/7}{225} = -\frac{10}{1575} = -\frac{2}{315},
b = \frac{873/35}{15} = \frac{873}{525} = \frac{291}{175},
c = \frac{11}{7}.

Passo 9

Interpretação rápida e encorajamento.
  • Conseguimos os coeficientes racionais exatos da regressão quadrática por mínimos quadrados. O modelo não passa exatamente por todos os pontos (é uma aproximação que minimiza o erro quadrático total), e por isso o termo constante c não é zero mesmo que y(0) nos dados seja 0. Se preferir forçar c=0 (modelo que passa pela origem) isso é outra escolha de modelagem e dá outro ajuste; aqui obtivemos o ajuste por mínimos quadrados sem restrições.
  • Bom trabalho por ter chegado até aqui — esses passos são os que costumam cair em provas: montar equações normais, calcular somas, fazer eliminação e interpretar os coeficientes. Força aí, você vai conseguir!

Resposta

y(t) = -\dfrac{2}{315}\,t^{2} + \dfrac{291}{175}\,t + \dfrac{11}{7}

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