Problema: Escrever uma expressão algébrica que denote uma função polinomial do segundo grau para representar o comportamento da bateria do telefone celular.
Tempo (em minutos)
0
15
30
45
60
75
Percentual da carga completa (em %)
0
27
48
61
77
92
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.
Pede-se: escrever uma expressão algébrica que denote uma função polinomial do segundo grau que represente o comportamento da carga da bateria em função do tempo.
Dados (peguei estes valores da tabela do enunciado):
Tempos t (em minutos): 0,\;15,\;30,\;45,\;60,\;75.
Percentual de carga y (em %): 0,\;27,\;48,\;61,\;77,\;92.
Resumindo: queremos um polinômio de grau 2 da forma y = a t^{2} + b t + c que se ajuste a esses seis pontos.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (aula rápida sobre regressão por mínimos quadrados).
Como há mais de três pontos, em geral não existe um polinômio quadrático que passe exatamente por todos eles. A forma natural de obter uma função que “melhor” descreva os dados é usar regressão por mínimos quadrados: escolhemos a,b,c\) que minimizam a soma dos quadrados dos erros \(\sum_{i}(y_i - (a t_i^{2}+b t_i + c))^{2}\).
- A condição de mínimo dá um sistema linear (as chamadas equações normais):
\[\begin{cases} \displaystyle \sum y_i = a\sum t_i^{2} + b\sum t_i + c\,n,\\[6pt] \displaystyle \sum t_i y_i = a\sum t_i^{3} + b\sum t_i^{2} + c\sum t_i,\\[6pt] \displaystyle \sum t_i^{2} y_i = a\sum t_i^{4} + b\sum t_i^{3} + c\sum t_i^{2}, \end{cases}onde n\] é o número de pontos (\(n=6 aqui) e todas as somas são sobre os seis pontos. A partir daí resolve-se o sistema para a,b,c.]
Passo 3
Estratégia para facilitar as contas (dica prática e justificativa).
Para evitar manipular números muito grandes (potências de 75 etc.), é comum reescalar a variável. Aqui escolhou=\frac{t}{15},porque os tempos são múltiplos de 15. Assim os valores de u são 0,1,2,3,4,5 — bem menores.
Escrevemos o modelo em u:y = \alpha u^{2} + \beta u + \gamma.Depois voltamos a t com u=t/15. A relação entre coeficientes éa=\frac{\alpha}{15^{2}}=\frac{\alpha}{225},\qquad b=\frac{\beta}{15},\qquad c=\gamma.
Passo 4
Calcular todas as somas necessárias usando u (mostrando as contas).
Vou resolver esse sistema para (\alpha,\beta,\gamma].]
Passo 6
Eliminar [\gamma) e obter um sistema em \alpha,\beta (eliminação por combinação linear).
Multiplico a primeira equação por 15 e a segunda por 6 para eliminar \gamma:\begin{cases} 825\alpha + 225\beta + 90\gamma = 4575,\\\\ 1350\alpha + 330\beta + 90\gamma = 6444. \end{cases}Subtraindo a primeira da segunda:525\alpha + 105\beta = 1869.Dividindo por 21\] (para simplificar):
\[25\alpha + 5\beta = 89. \tag{A}\]
- Agora multiplicar a primeira equação por \(55 e a terceira por 6:\begin{cases} 3025\alpha + 825\beta + 330\gamma = 16775,\\\\ 5874\alpha + 1350\beta + 330\gamma = 25800. \end{cases}Subtraindo a primeira da segunda:2849\alpha + 525\beta = 9025. \tag{B}
Calcular \gamma e converter para os coeficientes em t.
Usando a primeira equação 55\alpha + 15\beta + 6\gamma = 305:6\gamma = 305 - 55\alpha - 15\beta.Substituindo \alpha e \beta:6\gamma = \frac{2135}{7} - \left(-\frac{550}{7}\right) - \frac{2619}{7} = \frac{66}{7},portanto\gamma = \frac{11}{7}.
Lembrete da relação entre (\alpha,\beta,\gamma) e (a,b,c) para voltar a t:a=\frac{\alpha}{225},\qquad b=\frac{\beta}{15},\qquad c=\gamma.Substituindo:a = \frac{-10/7}{225} = -\frac{10}{1575} = -\frac{2}{315},
b = \frac{873/35}{15} = \frac{873}{525} = \frac{291}{175},
c = \frac{11}{7}.
Passo 9
Interpretação rápida e encorajamento.
Conseguimos os coeficientes racionais exatos da regressão quadrática por mínimos quadrados. O modelo não passa exatamente por todos os pontos (é uma aproximação que minimiza o erro quadrático total), e por isso o termo constante c não é zero mesmo que y(0) nos dados seja 0. Se preferir forçar c=0 (modelo que passa pela origem) isso é outra escolha de modelagem e dá outro ajuste; aqui obtivemos o ajuste por mínimos quadrados sem restrições.
Bom trabalho por ter chegado até aqui — esses passos são os que costumam cair em provas: montar equações normais, calcular somas, fazer eliminação e interpretar os coeficientes. Força aí, você vai conseguir!