Mostre que, de todos os paralelepípedos retângulos com o mesmo volume
, o de menor área é o cubo.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado fala de paralelepípedos retângulos (ou seja, blocos com faces retangulares) cujas arestas medeiam
, e , com . - Todos esses paralelepípedos têm o mesmo volume dado por
. - A pergunta é: entre todos esses paralelepípedos com volume fixo
, qual tem a menor área total (área da superfície)? E mostrar que esse paralelepípedo de menor área é o cubo.
Informações relevantes extraídas do enunciado (lista clara):
- Variáveis que descrevem um paralelepípedo:
, , (arestas). - Restrição (volume fixo):
. - Quantidade a minimizar: a área total da superfície, que depende de
.
Passo 2
Escrever as fórmulas que usamos (e entender por que são assim).
- A área total da superfície de um paralelepípedo retângulo com arestas
, , é a soma das áreas das seis faces, duas a duas iguais. Assim:
Explicação curta: as três dimensões geram três tipos de faces com áreas
,
e
, e cada tipo aparece duas vezes.
- A restrição de volume é
onde
é dado.
Objetivo agora: minimizar
sob a restrição
.
Passo 3
Escolha do método e uma ferramenta importante (a ideia pedagógica).
Vou usar a desigualdade da média aritmética e geométrica (desigualdade AM-GM). Motivo: é uma ferramenta elementar, elegante e direta aqui — evita cálculo pesado e dá condição de igualdade que nos diz exatamente quando ocorre o mínimo. Além disso, é um bom truque para provas: quando há produto fixo e queremos minimizar soma, AM-GM costuma ajudar.
Enunciado da desigualdade AM-GM para três números positivos
:
com igualdade se, e somente se,
.
Vou aplicar AM-GM aos três números positivos
,
e
.
Passo 4
Aplicar AM-GM a
,
e
.
Pela AM-GM temos:
Calcule o produto dentro da raiz:
Como
, segue que
Assim, da desigualdade inicial obtemos:
Passo 5
Transformar a desigualdade para a área
.
Multiplicando por
e lembrando que
, tem-se
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto a área
de qualquer paralelepípedo com volume
satisfaz
Isto dá um limite inferior para
.
Passo 6
Condição de igualdade e conclusão que o mínimo é obtido no cubo.
A igualdade na AM-GM ocorre se, e somente se, os três números usados forem iguais:
Como
, dessas igualdades podemos deduzir que
. Explicando: se
então, dividindo por
, obtemos
; combinando com as demais igualdades segue
.
Com
e a condição de volume
, obtemos
Logo as arestas do paralelepípedo que atinge a igualdade são todas iguais a
: é exatamente um cubo.
Substituindo em
com
:
Passo 7
Interpretação final e unicidade.
- Concluímos que a menor área possível, entre todos os paralelepípedos retângulos com volume
, é
- A igualdade (e portanto o mínimo) ocorre exatamente quando
, isto é, quando o paralelepípedo é um cubo. A solução é única dentro dos positivos porque a igualdade na AM-GM é exclusiva.
(Seguida: se preferir um método alternativo, dá para chegar ao mesmo resultado resolvendo um problema de otimização com multiplicadores de Lagrange — mas o argumento com AM-GM é mais curto e suficiente.)
Resposta
A área mínima é
e ocorre quando
(ou seja, o paralelepípedo é um cubo).