Mostre que, de todos os paralelepípedos retângulos com o mesmo volume V, o de menor área é o cubo.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado fala de paralelepípedos retângulos (ou seja, blocos com faces retangulares) cujas arestas medeiam x, y e z, com x>0,\;y>0,\;z>0.
  • Todos esses paralelepípedos têm o mesmo volume dado por V.
  • A pergunta é: entre todos esses paralelepípedos com volume fixo V, qual tem a menor área total (área da superfície)? E mostrar que esse paralelepípedo de menor área é o cubo.
Informações relevantes extraídas do enunciado (lista clara):
  • Variáveis que descrevem um paralelepípedo: x, y, z (arestas).
  • Restrição (volume fixo): \;xyz=V.
  • Quantidade a minimizar: a área total da superfície, que depende de x,y,z.

Passo 2

Escrever as fórmulas que usamos (e entender por que são assim).
  • A área total da superfície de um paralelepípedo retângulo com arestas x, y, z é a soma das áreas das seis faces, duas a duas iguais. Assim:
A=2(xy+yz+zx).
Explicação curta: as três dimensões geram três tipos de faces com áreas xy, yz e zx, e cada tipo aparece duas vezes.
  • A restrição de volume é
xyz=V,
onde V>0 é dado.
Objetivo agora: minimizar A sob a restrição xyz=V.

Passo 3

Escolha do método e uma ferramenta importante (a ideia pedagógica).
Vou usar a desigualdade da média aritmética e geométrica (desigualdade AM-GM). Motivo: é uma ferramenta elementar, elegante e direta aqui — evita cálculo pesado e dá condição de igualdade que nos diz exatamente quando ocorre o mínimo. Além disso, é um bom truque para provas: quando há produto fixo e queremos minimizar soma, AM-GM costuma ajudar.
Enunciado da desigualdade AM-GM para três números positivos a,b,c:
\frac{a+b+c}{3}\ge (abc)^{1/3},
com igualdade se, e somente se, a=b=c.
Vou aplicar AM-GM aos três números positivos xy, yz e zx.

Passo 4

Aplicar AM-GM a xy, yz e zx.
Pela AM-GM temos:
\frac{xy+yz+zx}{3}\ge (xy\cdot yz\cdot zx)^{1/3}.
Calcule o produto dentro da raiz:
xy\cdot yz\cdot zx = x^2y^2z^2 = (xyz)^2.
Como xyz=V, segue que
(xy\cdot yz\cdot zx)^{1/3} = \big((xyz)^2\big)^{1/3} = (V^2)^{1/3} = V^{2/3}.
Assim, da desigualdade inicial obtemos:
\frac{xy+yz+zx}{3}\ge V^{2/3}.

Passo 5

Transformar a desigualdade para a área A.
Multiplicando por 3 e lembrando que A=2(xy+yz+zx), tem-se
xy+yz+zx \ge 3V^{2/3}.
Multiplicando ambos os lados por 2:
A = 2(xy+yz+zx) \ge 2\cdot 3V^{2/3} = 6V^{2/3}.
Portanto a área A de qualquer paralelepípedo com volume V satisfaz
A \ge 6V^{2/3}.
Isto dá um limite inferior para A.

Passo 6

Condição de igualdade e conclusão que o mínimo é obtido no cubo.
A igualdade na AM-GM ocorre se, e somente se, os três números usados forem iguais:
xy = yz = zx.
Como x,y,z>0, dessas igualdades podemos deduzir que x=y=z. Explicando: se xy=yz então, dividindo por y>0, obtemos x=z; combinando com as demais igualdades segue x=y=z.
Com x=y=z e a condição de volume xyz=V, obtemos
x^3 = V \quad\Rightarrow\quad x=V^{1/3}.
Logo as arestas do paralelepípedo que atinge a igualdade são todas iguais a V^{1/3}: é exatamente um cubo.
Substituindo em A=2(xy+yz+zx) com x=y=z=V^{1/3}:
A_{\min}=2\big(3x^2\big)=6x^2 = 6\big(V^{1/3}\big)^2 = 6V^{2/3}.

Passo 7

Interpretação final e unicidade.
  • Concluímos que a menor área possível, entre todos os paralelepípedos retângulos com volume V, é
A_{\min}=6V^{2/3}.
  • A igualdade (e portanto o mínimo) ocorre exatamente quando x=y=z=V^{1/3}, isto é, quando o paralelepípedo é um cubo. A solução é única dentro dos positivos porque a igualdade na AM-GM é exclusiva.
(Seguida: se preferir um método alternativo, dá para chegar ao mesmo resultado resolvendo um problema de otimização com multiplicadores de Lagrange — mas o argumento com AM-GM é mais curto e suficiente.)

Resposta

A área mínima é 6V^{2/3} e ocorre quando x=y=z=V^{1/3} (ou seja, o paralelepípedo é um cubo).

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