Analise os intervalos onde f é diferenciável e, num mesmo plano cartesiano, esboce os gráficos de f e f' sobrepostos:
f(x)=||x|-1||

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede: analisar os intervalos em que f é diferenciável e, num mesmo plano cartesiano, esboçar os gráficos de f e de f' sobrepostos.
  • Nos é dada a função f definida por f(x)=||x|-1||.
  • Informações importantes a listar (retiradas do enunciado):
    • A função envolve valor absoluto aninhado: primeiro |x|, depois subtrai 1, depois outro valor absoluto.
    • Pontos onde as expressões dentro do valor absoluto podem ser zero são candidatos naturais a mudanças de expressão e possíveis não-diferenciabilidades; aqui os candidatos são os zeros de |x|\!-\!1 e de |x|, ou seja, os pontos onde |x|-1=0 (ou seja |x|=1) e onde x=0.
  • O que precisa ser entregue:
    1. Determinar os intervalos (abertos) onde f é diferenciável.
    2. Dar a expressão de f' nesses intervalos.
    3. Indicar os pontos onde f não é diferenciável.
    4. Esboçar, no mesmo sistema de eixos, o gráfico de f e de f' sobrepostos (vou descrever passo a passo como desenhar).

Passo 2

Entendendo valor absoluto e como “desmontar” [f) em pedaços lineares.
  • Lembrete didático: para qualquer expressão u, tem-se |u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}A função u\mapsto|u|\] é contínua em todo lugar, mas não é diferenciável quando \(u=0 (porque a derivada à esquerda e à direita são opostas).
  • Aplicando isso em f(x)=||x|-1||: vamos primeiro escrever |x| de forma piecewise e então aplicar o último valor absoluto.
    • Para x\ge 0: |x|=x. Então |x|-1 = x-1 e o externo |\,\cdot\,| f(x)=|x-1| quando x\ge 0.
    • Para x<0: |x|=-x. Então |x|-1 = -x-1 = -(x+1). Tomando o externo: |- (x+1)| = |x+1|. Assim f(x)=|x+1| quando x<0.
  • Conclusão do passo: podemos reescrever f(x)=\begin{cases} |x+1|, & x<0,\\[4pt] |x-1|, & x\ge 0. \end{cases}Esta forma já simplifica bastante: agora precisamos quebrar ainda mais cada valor absoluto em subintervalos onde o conteúdo é positivo ou negativo.]

Passo 3

Dividindo em intervalos onde cada módulo se resolve em expressão linear.
  • Para x<0\), \(f(x)=|x+1|\). O conteúdo \(x+1\) muda de sinal em \(x=-1\): \[|x+1|=\begin{cases} -(x+1)=-x-1, & x<-1,\\[4pt] x+1, & -1\le x<0. \end{cases}
  • Para x\ge 0\], \(f(x)=|x-1|. O conteúdo x-1 muda de sinal em x=1: |x-1|=\begin{cases} 1-x, & 0\le x<1,\\[4pt] x-1, & x\ge 1. \end{cases}
  • Juntando tudo, obtemos a expressão totalmente piecewise (cada ramo é uma função linear): f(x)=\begin{cases} -x-1, & x<-1,\\[4pt] x+1, & -1\le x<0,\\[4pt] 1-x, & 0\le x<1,\\[4pt] x-1, & x\ge 1. \end{cases}]

Passo 4

Verificando continuidade nos pontos de quebra x=-1,\,0,\,1.
  • Avaliar os limites e valores:
    • Em x=-1: f(-1^-)=\lim_{x\to-1^-}(-x-1) = -(-1)-1 = 0, \qquad f(-1^+)=\lim_{x\to-1^+}(x+1)= -1+1=0,e a definição do ramo -1\le x<0 f(-1)=(-1)+1=0. Logo contínua em x=-1.
    • Em x=0: f(0^-)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1, \qquad f(0^+)=\lim_{x\to0^+}(1-x)=1,e f(0)=1. Logo contínua em x=0.
    • Em x=1: f(1^-)=\lim_{x\to1^-}(1-x)=0, \qquad f(1^+)=\lim_{x\to1^+}(x-1)=0,e f(1)=0. Logo contínua em x=1.
  • Conclusão: f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Derivando em cada intervalo aberto (onde f é linear) e checando as derivadas laterais nos pontos de quebra.
  • Em intervalos abertos onde f é uma expressão linear ax+b, a derivada é simplesmente a. Vamos calcular:
    • Para x<-1: f(x)=-x-1. Então f'(x)=-1 \quad\text{para } x<-1.
    • Para -1<x<0: f(x)=x+1. Então f'(x)=1 \quad\text{para } -1<x<0.
    • Para 0<x<1: f(x)=1-x. Então f'(x)=-1 \quad\text{para } 0<x<1.
    • Para x>1: f(x)=x-1. Então f'(x)=1 \quad\text{para } x>1.
  • Agora checar derivadas laterais nos pontos x=-1,0,1:
    • Em x=-1: f'_-( -1 )=\lim_{x\to-1^-}f'(x)=-1, \qquad f'_+( -1 )=\lim_{x\to-1^+}f'(x)=1.Como as derivadas laterais não coincidem, f não é diferenciável em x=-1.
    • Em x=0: f'_-(0)=1, \qquad f'_+(0)=-1,diferentes, logo f não é diferenciável em x=0.
    • Em x=1: f'_-(1)=-1, \qquad f'_+(1)=1,diferentes, logo f não é diferenciável em x=1.
  • Conclusão deste passo: f é diferenciável exatamente nos intervalos abertos
    (-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,\infty),
    e não é diferenciável em x=-1,0,1.

Passo 6

Expressão final (compacta) para [f’) e interpretação intuitiva.
  • Podemos escrever f' piecewise como f'(x)=\begin{cases} -1, & x<-1,\\[4pt] 1, & -1<x<0,\\[4pt] -1, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & x>1. \end{cases}
  • Observação didática: f'\] é uma função por partes constante, alternando entre \(-1 e 1. Nos pontos x=-1,0,1 há “cantos” (vértices) em f e saltos em f', portanto f' não está definida nesses pontos. Isso é típico quando se aninham valores absolutos: cada vez que a expressão interna muda de sinal, aparece um canto na curva.]

Passo 7

Como esboçar, no mesmo plano, f e f' (instruções passo a passo para desenhar à mão, como na prova).
  • Preparar eixos: desenhar eixos x e y. Marcar os pontos x=-2,-1,0,1,2 no eixo x e marcar y=-2,-1,0,1,2 no eixo y.
  • Desenhar f (linha contínua, peça linear por peça):
    • No ramo x<-1: trace uma reta de inclinação -1 que passa por (-1,0). Por exemplo, o ponto (-2,1) pertence (pois f(-2)=1). Ligue suavemente por essa reta até a esquerda.
    • Entre -1 e 0: trace uma reta de inclinação +1 unindo (-1,0) a (0,1).
    • Entre 0 e 1: trace uma reta de inclinação -1 unindo (0,1) a (1,0).
    • Para x>1: trace uma reta de inclinação +1 saindo de (1,0) para a direita (por exemplo (2,1) pertence a este ramo).
    • Resultado: f tem mínimos de valor 0 em x=-1 e em x=1, e um máximo local f(0)=1. A função é par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Desenhar f' (usar outra cor ou estilo, por exemplo traço pontilhado):
    • Para x<-1: desenhe a linha horizontal y=-1 (sinalizando que f'(x)=-1 ali).
    • Em x=-1: deixe um círculo aberto em y=-1 sobre x=-1 e outro círculo aberto em y=1 sobre x=-1 (indicando que a derivada não existe ali e as laterais valem esses valores).
    • Para -1<x<0: desenhe a linha horizontal y=1.
    • Em x=0: deixe círculos abertos em y=1 e y=-1.
    • Para 0<x<1: desenhe a linha horizontal y=-1.
    • Em x=1: círculos abertos em y=-1 e y=1.
    • Para x>1: desenhe a linha horizontal y=1.
  • Observação de leitura do esboço: O gráfico de f' é uma “onda quadrada” que alterna entre -1 e 1 com saltos em x=-1,0,1. O gráfico de f é formado por quatro segmentos de reta que se encontram nesses pontos. Sobrepor os dois mostra claramente que onde f tem inclinação positiva, f'=1, e onde tem inclinação negativa, f'=-1.

Resposta

f é diferenciável em (-\infty,-1),\\ (-1,0),\\ (0,1),\\ (1,\infty) e não é diferenciável em x=-1,0,1.\n f'(x)=\begin{cases} -1, & x<-1,\\[4pt] 1, & -1<x<0,\\[4pt] -1, & 0<x<1,\\[4pt] 1, & x>1, \end{cases}]

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