Problema 1 - Um fio de comprimento
encontra-se eletricamente carregado com uma carga positiva. A densidade linear de carga no fio é
(Coulomb/m), e a carga total é
. Estamos interessados em calcular o campo elétrico gerado por esta distribuição de cargas em um ponto
localizado ao longo do eixo do fio e a uma distância
de uma de suas extremidades.
(a) Encontre uma expressão integral para o campo elétrico no ponto
.
(a) Encontre uma expressão integral para o campo elétrico no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta um fio de comprimento $ l $ carregado positivamente, com uma densidade linear de carga $ \lambda $ (Coulomb por metro) e carga total $ Q $. Queremos calcular o campo elétrico no ponto $ P $, que está localizado ao longo do eixo do fio, a uma distância $ a $ de uma das extremidades. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o fio estendido ao longo do eixo $ x $, começando no ponto $ x = 0 $ e indo até $ x = l $. O ponto $ P $ está a uma distância $ a $ da extremidade em $ x = 0 $, ou seja, está no ponto $ x = -a $.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico em $ P $, vamos considerar um pequeno segmento do fio com comprimento diferencial $ dx $ localizado em uma posição $ x $ ao longo do fio. A carga nesse segmento é $ dq = \lambda dx $, onde $ \lambda $ é a densidade linear de carga.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse pequeno segmento no ponto $ P $ é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui, $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,988 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $) e $ r $ é a distância entre o segmento de carga e o ponto $ P $.
Passo 5
A distância $ r $ entre o segmento de carga no ponto $ x $ e o ponto $ P $ é $ r = a + x $. Portanto, substituindo na expressão do campo elétrico:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total $ E $ em $ P $, devemos integrar $ dE $ ao longo de todo o comprimento do fio, ou seja, de $ x = 0 $ a $ x = l $:
Resposta
A expressão integral para o campo elétrico no ponto $ P $ é: