Problema 1 - Um fio de comprimento l encontra-se eletricamente carregado com uma carga positiva. A densidade linear de carga no fio é lambda (Coulomb/m), e a carga total é Q. Estamos interessados em calcular o campo elétrico gerado por esta distribuição de cargas em um ponto P localizado ao longo do eixo do fio e a uma distância a de uma de suas extremidades.
(b) Resolva a integral encontrada no item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio de comprimento $ l $ carregado positivamente com densidade linear de carga $ \lambda $ (Coulomb/m) e carga total $ Q $. Queremos calcular o campo elétrico $ E $ gerado por esse fio em um ponto $ P $ que está ao longo do eixo do fio, a uma distância $ a $ de uma das extremidades. No item anterior, montamos uma integral para encontrar esse campo. Agora, vamos resolver essa integral passo a passo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral e conceitos básicos de eletrostática, como o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da integral que precisamos resolver para encontrar o campo elétrico $ E $ no ponto $ P $. A integral geralmente fica assim:
E
Aqui, $ \lambda $ é a densidade linear de carga, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo, $ a $ é a distância do ponto $ P $ até uma extremidade do fio, e $ x $ é a variável de integração que representa uma posição ao longo do fio.

Passo 3

Agora, vamos focar em resolver a integral:
integral a(a^2 + x^2)^3/2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela está em uma forma padrão conhecida. Observando a integral, percebemos que ela se parece com a derivada de uma função que envolve $ x/(a^2 + x2){1/2} $.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = x
du = dx
Mas na verdade, uma melhor substituição seria considerar a forma da derivada:
ddx( xraiza^2 + x^2 ) = a^2(a^2 + x^2)^3/2
Perceba que a nossa integral tem um $ a $ no numerador, então podemos ajustar isso.

Passo 5

Comparando as duas expressões, notamos que:
a(a^2 + x^2)^3/2 = aa^2 cdot a^2(a^2 + x^2)^3/2 = 1a cdot ddx( xraiza^2 + x^2 )
Assim, podemos reescrever a integral como:
integral a(a^2 + x^2)^3/2 , dx = 1a integral ddx( xraiza^2 + x^2 ) , dx

Passo 6

A integral de uma derivada é simplesmente a própria função, então:
1a integral ddx( xraiza^2 + x^2 ) , dx = 1a cdot xraiza^2 + x^2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Mas como estamos calculando um campo elétrico numa situação física, vamos usar os limites da integral para eliminar $ C $.

Passo 7

Aplicando os limites de $ 0 $ a $ l $:
0
Simplificando:
l

Passo 8

Agora, voltando à expressão original do campo elétrico $ E $:
E
Isso simplifica para:
E = lambda4pivarepsilon0 cdot la raiza^2 + l^2

Resposta

O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por:
P

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