Problema 1 - Um fio de comprimento
encontra-se eletricamente carregado com uma carga positiva. A densidade linear de carga no fio é
(Coulomb/m), e a carga total é
. Estamos interessados em calcular o campo elétrico gerado por esta distribuição de cargas em um ponto
localizado ao longo do eixo do fio e a uma distância
de uma de suas extremidades.
(b) Resolva a integral encontrada no item anterior.
(b) Resolva a integral encontrada no item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio de comprimento $ l $ carregado positivamente com densidade linear de carga $ \lambda $ (Coulomb/m) e carga total $ Q $. Queremos calcular o campo elétrico $ E $ gerado por esse fio em um ponto $ P $ que está ao longo do eixo do fio, a uma distância $ a $ de uma das extremidades. No item anterior, montamos uma integral para encontrar esse campo. Agora, vamos resolver essa integral passo a passo. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral e conceitos básicos de eletrostática, como o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da integral que precisamos resolver para encontrar o campo elétrico $ E $ no ponto $ P $. A integral geralmente fica assim:
Aqui, $ \lambda $ é a densidade linear de carga, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo, $ a $ é a distância do ponto $ P $ até uma extremidade do fio, e $ x $ é a variável de integração que representa uma posição ao longo do fio.
Passo 3
Agora, vamos focar em resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela está em uma forma padrão conhecida. Observando a integral, percebemos que ela se parece com a derivada de uma função que envolve $ x/(a^2 + x2){1/2} $.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Mas na verdade, uma melhor substituição seria considerar a forma da derivada:
Perceba que a nossa integral tem um $ a $ no numerador, então podemos ajustar isso.
Passo 5
Comparando as duas expressões, notamos que:
Assim, podemos reescrever a integral como:
Passo 6
A integral de uma derivada é simplesmente a própria função, então:
Onde $ C $ é a constante de integração. Mas como estamos calculando um campo elétrico numa situação física, vamos usar os limites da integral para eliminar $ C $.
Passo 7
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ l $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltando à expressão original do campo elétrico $ E $:
Isso simplifica para:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: