Problema 6: As frações molares dos principais componentes de ar seco ao nível do mar são x_{\mathrm{N}_{2}}=0,78, x_{\mathrm{O}_{2}}=0,21, x_{\mathrm{Ar}}=0,0093 e x_{\mathrm{CO}_{2}}=0,0004. (a) Encontre a pressão parcial de cada um desses gases no ar seco a 1,00 \mathrm{~atm} e 20^{\circ} \mathrm{C}. (b) Encontre a massa de cada um desses gases em uma sala de 4,5 \mathrm{~m} \times 6 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m} a 20^{\circ} \mathrm{C} se a pressão medida no barômetro corresponde a 740 torr e a umidade relativa da sala é zero. Encontre atambém a densidade do ar nessa sala e responda: quem possui maior massa? Você ou o ar contido nessa sala?

Passo 1

O enunciado dá as frações molares do ar seco ao nível do mar e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    x_{\mathrm{N}_2}=0,78,\quad x_{\mathrm{O}_2}=0,21,\quad x_{\mathrm{Ar}}=0,0093,\quad x_{\mathrm{CO}_2}=0,0004.
    Para a parte (a) a pressão total é \;P_{\text{total}}=1,00\\ \mathrm{atm} e a temperatura é 20^\circ\mathrm{C}.
    Para a parte (b) o volume da sala é 4,5\\ \mathrm{m}\times6\\ \mathrm{m}\times3\\ \mathrm{m} (vou usar essa figura para calcular o volume) e a pressão medida no barômetro é 740\\ \mathrm{torr}. A umidade relativa é zero (ar seco). A temperatura é 20^\circ\mathrm{C}.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a pressão parcial de cada gás no ar seco a 1,00\\ \mathrm{atm} e 20^\circ\mathrm{C}.
    (b) Encontrar a massa de cada gás na sala (com pressão 740\\ \mathrm{torr}, umidade zero e 20^\circ\mathrm{C}), a densidade do ar nessa sala e responder quem tem maior massa: você (pessoa típica) ou o ar contido na sala.
Observações importantes: na (a) a temperatura não altera a relação das pressões parciais (lei de Dalton usa fração molar e pressão total). Na (b) vou usar a Lei dos Gases Ideais para converter pressão, volume e temperatura em número de mols totais do ar, e daí a massa de cada componente pelas frações molares e massas molares.

Passo 2

Ensinando: lei de Dalton (pressões parciais).
A lei de Dalton diz que, para uma mistura ideal de gases, a pressão parcial de cada componente é a fração molar desse componente multiplicada pela pressão total:
p_i = x_i\,P_{\text{total}}.
Aqui p_i é a pressão parcial do gás i, x_i é a sua fração molar (adimensional) e P_{\text{total}} é a pressão total da mistura. A temperatura não aparece nessa fórmula porque a fração molar já contém a informação relativa de quantos mols existem de cada componente.
Aplicando para P_{\text{total}}=1,00\\ \mathrm{atm}:
p_{\mathrm{N}_2}=x_{\mathrm{N}_2}P=0,78\cdot1,00=0,78\\ \mathrm{atm},
p_{\mathrm{O}_2}=0,21\cdot1,00=0,21\\ \mathrm{atm},
p_{\mathrm{Ar}}=0,0093\cdot1,00=0,0093\\ \mathrm{atm},
p_{\mathrm{CO}_2}=0,0004\cdot1,00=0,0004\\ \mathrm{atm}.
Vou também converter para unidades práticas (torr e pascal) para você visualizar melhor. Lembre-se: 1\\ \mathrm{atm}=760\\ \mathrm{torr}=101325\\ \mathrm{Pa}. Então, por exemplo,
p_{\mathrm{N}_2}=0,78\\ \mathrm{atm}=0,78\cdot760=592,8\\ \mathrm{torr}=0,78\cdot101325=79\,033,5\\ \mathrm{Pa},
e assim por diante para os outros.

Passo 3

Ensinando: Lei dos Gases Ideais para obter o número total de mols na sala.
A Lei dos Gases Ideais é
PV=nRT,
onde P é a pressão absoluta (em pascal se R for em unidades SI), V é o volume (em \mathrm{m}^3), n é o número de mols, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta em kelvin. Em unidades SI usamos R=8,314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Primeiro calculemos o volume da sala (usei a figura dada):
V=4,5\cdot6\cdot3=81\\ \mathrm{m}^3.
A pressão dada no barômetro é 740\\ \mathrm{torr}. Converto para pascal:
P=\frac{740}{760}\cdot101325=\frac{37}{38}\cdot101325\approx98\,658\\ \mathrm{Pa}.
A temperatura 20^\circ\mathrm{C} em kelvin é
T=20+273,15=293,15\\ \mathrm{K}.
Agora aplico a equação dos gases para achar n_{\text{total}}:
n_{\text{total}}=\frac{PV}{RT}=\frac{98\,658\\ \mathrm{Pa}\times81\\ \mathrm{m}^3}{8,314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\times293,15\\ \mathrm{K}}.
Faço as contas (vou mostrar passo a passo para você poder repetir sem calculadora – aqui eu mantenho arredondamentos razoáveis):
  • Denominador: R T\approx8,314462618\cdot293,15\approx2437,385\\ \mathrm{J/(mol)}.
  • Numerador: P V\approx98\,658\cdot81\approx7\,991\,321\\ \mathrm{Pa\cdot m}^3 (note que \mathrm{Pa\cdot m}^3=\mathrm{J}).
  • Portanto
n_{\text{total}}\approx\frac{7\,991\,321}{2437,385}\approx3\,278,65\\ \mathrm{mol}.
Explicação curta: esse n_{\text{total}} é o total de mols de ar seco dentro da sala sob as condições dadas.

Passo 4

Ensinando: obter mols de cada componente pela fração molar.
Se n_{\text{total}} é o número total de mols do ar seco, o número de mols de cada gás é simplesmente
n_i = x_i\,n_{\text{total}}.
Aplicando:
n_{\mathrm{N}_2}=0,78\cdot3\,278,65\approx2\,557,34\\ \mathrm{mol},
n_{\mathrm{O}_2}=0,21\cdot3\,278,65\approx688,52\\ \mathrm{mol},
n_{\mathrm{Ar}}=0,0093\cdot3\,278,65\approx30,491\\ \mathrm{mol},
n_{\mathrm{CO}_2}=0,0004\cdot3\,278,65\approx1,3115\\ \mathrm{mol}.
Pequena observação: as frações dadas somam ligeiramente menos que 1 (devido a arredondamentos), então esses valores são consistentes com os dados fornecidos.

Passo 5

Ensinando: converter mols em massa usando massa molar.
A massa m_i de cada gás é dada por
m_i = n_i\,M_i,
onde M_i é a massa molar do gás i (em \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}). Valores que vou usar (convencionais):
M_{\mathrm{N}_2}=28,0134\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0,0280134\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}},
M_{\mathrm{O}_2}=31,9988\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0,0319988\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}},
M_{\mathrm{Ar}}=39,948\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0,039948\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}},
M_{\mathrm{CO}_2}=44,01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}=0,04401\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
Agora calculo cada massa:
m_{\mathrm{N}_2}=2\,557,34388\cdot0,0280134\approx71,6399\\ \mathrm{kg},
m_{\mathrm{O}_2}=688,51566\cdot0,0319988\approx22,0317\\ \mathrm{kg},
m_{\mathrm{Ar}}=30,4914\cdot0,039948\approx1,2181\\ \mathrm{kg},
m_{\mathrm{CO}_2}=1,31146\cdot0,04401\approx0,05772\\ \mathrm{kg}.
Somando para ver a massa total do ar seco na sala:
m_{\text{ar, total}}\approx71,6399+22,0317+1,2181+0,0577\approx94,9474\\ \mathrm{kg}.
Detalhe didático: assim você vê que a maior parte da massa do ar é nitrogênio seguido de oxigênio; gases traço (Ar, CO2) contribuem pouco em massa.

Passo 6

Ensinando: densidade e comparação com pessoa.
A densidade média do ar na sala é
\rho=\frac{m_{\text{ar, total}}}{V}=\frac{94,9474\\ \mathrm{kg}}{81\\ \mathrm{m}^3}\approx1,1726\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
Comparação de massas: a massa do ar na sala é cerca de \;94,95\\ \mathrm{kg}. Para a maioria das pessoas (massa típica, por exemplo, \sim70\\ \mathrm{kg}), a massa do ar na sala é maior. Se você pesa mais que \;94,95\\ \mathrm{kg}, então você tem massa maior; se pesa menos, o ar na sala tem maior massa. Mas, de modo geral, para uma pessoa média a resposta é: o ar da sala pesa mais do que a pessoa.

Resposta

(a) (p_{\mathrm{N}2}=0,78\ \mathrm{atm}=592,8\ \mathrm{torr}=79,033,5\ \mathrm{Pa};\quad p{\mathrm{O}2}=0,21\ \mathrm{atm}=159,6\ \mathrm{torr}=21,278,3\ \mathrm{Pa};\quad p{\mathrm{Ar}}=0,0093\ \mathrm{atm}=7,068\ \mathrm{torr}=942,24\ \mathrm{Pa};\quad p_{\mathrm{CO}_2}=0,0004\ \mathrm{atm}=0,304\ \mathrm{torr}=40,53\ \mathrm{Pa}.
(b) m_{\mathrm{N}_2}\approx71,6399\\ \mathrm{kg};\quad m_{\mathrm{O}_2}\approx22,0317\\ \mathrm{kg};\quad m_{\mathrm{Ar}}\approx1,2181\\ \mathrm{kg};\quad m_{\mathrm{CO}_2}\approx0,0577\\ \mathrm{kg}; massa total do ar \approx94,9474\\ \mathrm{kg}.
Densidade do ar na sala: \rho\approx1,1726\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
Quem tem maior massa? O ar contido na sala (≈ 94,95\\ \mathrm{kg}); assim, para uma pessoa típica de \sim70\\ \mathrm{kg}, o ar da sala possui maior massa.)

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