Qual o volume molar do \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) a 500 K e 600 bar de acordo com (a) a lei dos gases ideais e (b) a equação do virial? Utilize apenas o segundo coeficiente do viral B do \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) a 500 K dado por 0,0169 \mathrm{Lmol}^{-1}. (c) Utilizando os dois resultados obtidos no item anterior, calcule também o fator de compressibilidade Z.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Calcular o volume molar de \mathrm{N}_2(\mathrm{g}) a 500\\ \mathrm{K} e 600\\ \mathrm{bar} segundo a lei dos gases ideais.
  2. (b) Calcular o volume molar usando a equação do virial truncada no segundo coeficiente B.
  3. (c) A partir dos resultados de (a) e (b), calcular o fator de compressibilidade Z correspondente a cada caso.
Dados fornecidos (vou listar para você não se perder):
T = 500\\ \mathrm{K}, \qquad P = 600\\ \mathrm{bar}, \qquad B = 0{,}0169\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} \text{ (dado para 500 K).}
Constante dos gases (usarei em unidades compatíveis com P em bar e volumes em L):
R = 0{,}08314\\ \mathrm{L\;bar\;K^{-1}\;mol^{-1}}.

Passo 2

Relembrando a lei dos gases ideais e a definição de volume molar:
A lei dos gases ideais escrita para uma mol é
PV_m = RT,
onde \;V_m\; é o volume molar (volume por mol), P é a pressão, R a constante dos gases e T a temperatura. Todas as grandezas devem estar em unidades compatíveis. Aqui vou usar V_m em \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Substituindo numérico:
V_{m,\text{ideal}} = \frac{RT}{P} = \frac{0{,}08314\cdot 500}{600}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 3

Calculemos o valor numérico do item (a):
RT = 0{,}08314\times 500 = 41{,}57\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}}.
V_{m,\text{ideal}} = \frac{41{,}57}{600} = 0{,}0692833\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Se preferir em \mathrm{m^3\;mol^{-1}}, lembrando 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^3}:
V_{m,\text{ideal}} = 6{,}92833\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.

Passo 4

Definição do fator de compressibilidade Z:
Z \equiv \frac{P V_m}{R T}.
Para o gás ideal, pela própria lei dos gases, PV_m=RT, portanto
Z_{\text{ideal}} = 1.

Passo 5

Agora a equação do virial truncada (usar apenas o segundo coeficiente B). Existem formas diferentes da série; a forma em termos do fator de compressibilidade e do volume molar, usando B com unidades de volume por mol, é:
Z = 1 + \frac{B}{V_m}.
Aqui \;B\; tem unidades \mathrm{L\;mol^{-1}} (como nos foi dado) e \;V_m\; está em \mathrm{L\;mol^{-1}}. Note que essa expressão é implícita em V_m porque Z também depende de V_m via Z = \dfrac{P V_m}{RT}. Então devemos combinar as duas fórmulas para obter V_m.

Passo 6

Combinação das equações para obter uma equação explícita para V_m.
Começamos com:
Z = \frac{P V_m}{R T} \qquad\text{e}\qquad Z = 1 + \frac{B}{V_m}.
Igualando:
\frac{P V_m}{R T} = 1 + \frac{B}{V_m}.
Multiplicando ambos os lados por R T V_m:
P V_m^2 = R T V_m + R T B.
Reorganizando como quadrática em V_m:
P V_m^2 - R T V_m - R T B = 0.

Passo 7

Resolver a quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara:
V_m = \frac{R T \pm \sqrt{(R T)^2 + 4 P R T B}}{2P}.
Escolhemos o sinal positivo porque queremos a raiz positiva e fisicamente relevante (volume molar positivo, e a raiz positiva dá o valor maior fisicamente consistente).
Agora colocamos os números:
R T = 41{,}57\\ \mathrm{L\;bar\;mol^{-1}} \quad(\text{como calculado antes}),
4 P R T B = 4\cdot 600\cdot 41{,}57\cdot 0{,}0169.
Calculemos esse termo passo a passo:
600\cdot 0{,}0169 = 10{,}14,
4\cdot 10{,}14 = 40{,}56,
40{,}56\cdot 41{,}57 \approx 1686{,}0792.
Então o discriminante é
(RT)^2 + 4PRTB = 41{,}57^2 + 1686{,}0792 = 1728{,}0649 + 1686{,}0792 \approx 3414{,}1441.
A raiz quadrada vale aproximadamente
\sqrt{3414{,}1441} \approx 58{,}4306.
Portanto
V_{m,\text{virial}} = \frac{41{,}57 + 58{,}4306}{2\cdot 600} = \frac{100{,}0006}{1200} \approx 0{,}0833338\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 8

Conversão e verificação do resultado do item (b):
V_{m,\text{virial}} \approx 0{,}0833338\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} = 8{,}33338\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.
Verificação rápida do Z via Z=1+B/V_m:
Z_{\text{virial}} = 1 + \frac{0{,}0169}{0{,}0833338} \approx 1 + 0{,}2028 \approx 1{,}2028.
Também podemos verificar usando Z = \dfrac{PV_m}{RT}:
Z_{\text{virial}} = \frac{600\cdot 0{,}0833338}{41{,}57} \approx \frac{50{,}00028}{41{,}57} \approx 1{,}2028,
o que confirma consistência.

Passo 9

Resumo interpretativo rápido (pra te motivar): o volume molar segundo o modelo ideal é menor ( \approx 0{,}0693\\ \mathrm{L/mol}), enquanto incluindo o segundo coeficiente virial (aqui positivo) obtemos maior volume molar ( \approx 0{,}08333\\ \mathrm{L/mol}); isso resulta em Z>1, indicando efeito de repulsão intermolecular líquido a essa pressão/temperatura. Bom trabalho — já tá indo bem!

Resposta

(a) V_{m,\text{ideal}} = 0{,}0692833\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} = 6{,}92833\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}\n
(b) V_{m,\text{virial}} = 0{,}0833338\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} = 8{,}33338\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}\n
(c) Z_{\text{ideal}} = 1{,}0000, Z_{\text{virial}} \approx 1{,}2028

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