Para o etano,
e
. Calcule a pressão exercida por
de
um recipiente de
a
utilizando (a) a lei dos gases ideais e (b) a equação de van der Waals para temperaturas críticas.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a pressão exercida por uma amostra de etano nas condições dadas usando dois métodos: (a) a lei dos gases ideais e (b) a equação de van der Waals, onde devo obter as constantes a e b a partir das constantes críticas. Informações fornecidas e perguntas:
- Massa de etano:
. - Volume do recipiente:
. - Temperatura do sistema:
. - Constantes críticas (fornecidas para o etano):
e .
Perguntas:
(a) Calcular a pressão usando a lei dos gases ideais.
(b) Calcular a pressão usando a equação de van der Waals, obtendoe a partir de e .
Passo 2
Primeiro eu calculo o número de mols de etano, porque tanto a lei dos gases ideais quanto a van der Waals usam
(número de mols). Para isso preciso da massa molar do etano
.
- Massa molar: cada carbono tem aproximadamente
e cada hidrogênio . Então
Vou usar
. Agora o número de mols
:
Passo 3
Converto unidades para trabalhar com a constante dos gases na forma conveniente (
em
).
- Volume:
. - Temperatura:
. - Constante dos gases: vou usar
.
Passo 4
(a) Lei dos gases ideais — aula curtinha: a lei diz que
onde
é a pressão (em
se usarmos esse
),
o volume em
,
o número de mols,
a constante e
a temperatura em
. Isolando
:
Substituindo os valores calculados:
- cálculo de
:
- então
Portanto, pela lei dos gases ideais a pressão é aproximadamente
.
Passo 5
(b) Equação de van der Waals — preparação teórica: a equação de van der Waals para
mols é
onde
corrige as forças de atração entre moléculas (unidade típica
) e
corrige o volume ocupado pelas próprias moléculas (unidade
). Para calcular
é comum rearranjar:
O enunciado pede que eu obtenha
e
a partir de
e
. Há relações teóricas entre as constantes críticas e
para a equação de van der Waals (essas relações vêm do fato de que no ponto crítico a isoterma tem ponto de inflexão):
Posso manipular essas duas equações para isolar
e
.
Passo 6
Derivação das fórmulas práticas para
e
(passo-a-passo algébrico didático):
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituo essa expressão em
:
Isolando
:
Com
em mãos, volto para obter
. Substituindo
em
resulta em (de forma compacta):
Essas duas fórmulas são as práticas que vou usar.
Passo 7
Calculo numérico de
e
usando as fórmulas anteriores e os valores críticos fornecidos (
,
,
).
- Primeiro
:
- Agora
:
Passo 8
Agora aplico a equação de van der Waals numérica. Lembro a fórmula prática:
Substituo os valores calculados:
,
,
,
,
,
.
- Primeiro
:
- Volume disponível efetivo:
- Primeiro termo
:
- Segundo termo
:
- Finalmente:
Passo 9
Resumo interpretativo rápido e incentivo: a diferença entre os resultados é grande porque aqui temos uma amostra relativamente densa (muito número de mols num volume pequeno). A lei dos gases ideais subestima efeitos de volume finito das moléculas e as correções da van der Waals mostram que, ao reduzir o volume livre
, a pressão prevista cresce muito; a correção atrativa
diminui um pouco essa pressão, mas o efeito do termo volumétrico domina neste caso. Você já conseguiu: passos claros, contas feitas — tá indo bem!
Resposta
(a)
(b)
(b)