Para o etano, p_{C}=48,2 \mathrm{~atm} e T_{C}=305,4 \mathrm{~K}. Calcule a pressão exercida por 74,8 \mathrm{~g} de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{em} um recipiente de 200 \mathrm{~cm}^{3} a 37,5^{\circ} \mathrm{C} utilizando (a) a lei dos gases ideais e (b) a equação de van der Waals para temperaturas críticas.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a pressão exercida por uma amostra de etano nas condições dadas usando dois métodos: (a) a lei dos gases ideais e (b) a equação de van der Waals, onde devo obter as constantes a e b a partir das constantes críticas. Informações fornecidas e perguntas:
  • Massa de etano: 74,8\\ \mathrm{g}.
  • Volume do recipiente: 200\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Temperatura do sistema: 37{,}5^{\circ}\mathrm{C}.
  • Constantes críticas (fornecidas para o etano): p_{C}=48{,}2\\ \mathrm{atm} e T_{C}=305{,}4\\ \mathrm{K}.
    Perguntas:
    (a) Calcular a pressão usando a lei dos gases ideais.
    (b) Calcular a pressão usando a equação de van der Waals, obtendo a e b a partir de p_C e T_C.

Passo 2

Primeiro eu calculo o número de mols de etano, porque tanto a lei dos gases ideais quanto a van der Waals usam n (número de mols). Para isso preciso da massa molar do etano \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6.
  • Massa molar: cada carbono tem aproximadamente 12{,}01\\ \mathrm{g/mol} e cada hidrogênio 1{,}008\\ \mathrm{g/mol}. Então
\text{Massa molar } M = 2\cdot 12{,}01 + 6\cdot 1{,}008 = 24{,}02 + 6{,}048 = 30{,}068\\ \mathrm{g/mol}.
Vou usar M\approx 30{,}07\\ \mathrm{g/mol}. Agora o número de mols \;n=\dfrac{m}{M}:
n=\dfrac{74{,}8}{30{,}07}\approx 2{,}4877\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Converto unidades para trabalhar com a constante dos gases na forma conveniente ( R em \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}).
  • Volume: 200\\ \mathrm{cm}^{3}=200\\ \mathrm{mL}=0{,}200\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura: 37{,}5^{\circ}\mathrm{C}=37{,}5+273{,}15=310{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases: vou usar \;R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 4

(a) Lei dos gases ideais — aula curtinha: a lei diz que
pV=nRT,
onde p é a pressão (em \mathrm{atm} se usarmos esse R), V o volume em \mathrm{L}, n o número de mols, R a constante e T a temperatura em \mathrm{K}. Isolando p:
p=\dfrac{nRT}{V}.
Substituindo os valores calculados:
  • cálculo de nRT:
nRT = 2{,}4877 \times 0{,}082057 \times 310{,}65 \approx 63{,}366\\ \mathrm{L\cdot atm}.
  • então
p_{\text{ideal}}=\dfrac{63{,}366}{0{,}200}=316{,}83\\ \mathrm{atm}.
Portanto, pela lei dos gases ideais a pressão é aproximadamente 316{,}8\\ \mathrm{atm}.

Passo 5

(b) Equação de van der Waals — preparação teórica: a equação de van der Waals para n mols é
\left(p + \dfrac{a n^{2}}{V^{2}}\right)(V - n b)=nRT,
onde a corrige as forças de atração entre moléculas (unidade típica \mathrm{L^{2}\,atm\,mol^{-2}}) e b corrige o volume ocupado pelas próprias moléculas (unidade \mathrm{L/mol}). Para calcular p é comum rearranjar:
p=\dfrac{nRT}{V-nb} - a\left(\dfrac{n}{V}\right)^{2} = \dfrac{nRT}{V-nb} - \dfrac{a n^{2}}{V^{2}}.
O enunciado pede que eu obtenha a e b a partir de p_C e T_C. Há relações teóricas entre as constantes críticas e a,b para a equação de van der Waals (essas relações vêm do fato de que no ponto crítico a isoterma tem ponto de inflexão):
T_{C}=\dfrac{8a}{27Rb},\qquad p_{C}=\dfrac{a}{27b^{2}}.
Posso manipular essas duas equações para isolar a e b.

Passo 6

Derivação das fórmulas práticas para a e b (passo-a-passo algébrico didático):
Da primeira equação:
a=\dfrac{27}{8} R b T_{C}.
Substituo essa expressão em p_{C}=\dfrac{a}{27b^{2}}:
p_{C}=\dfrac{\frac{27}{8}RbT_{C}}{27b^{2}}=\dfrac{R T_{C}}{8b}.
Isolando b:
b=\dfrac{R T_{C}}{8 p_{C}}.
Com b em mãos, volto para obter a. Substituindo b em a=\dfrac{27}{8} R b T_{C} resulta em (de forma compacta):
a=\dfrac{27 R^{2} T_{C}^{2}}{64 p_{C}}.
Essas duas fórmulas são as práticas que vou usar.

Passo 7

Calculo numérico de b e a usando as fórmulas anteriores e os valores críticos fornecidos ( T_C=305{,}4\\ \mathrm{K}, p_C=48{,}2\\ \mathrm{atm}, R=0{,}082057).
  • Primeiro b:
b=\dfrac{R T_{C}}{8 p_{C}}=\dfrac{0{,}082057\times 305{,}4}{8\times 48{,}2} =\dfrac{25{,}0602}{385{,}6}\approx 0{,}06499\\ \mathrm{L/mol}.
  • Agora a:
a=\dfrac{27 R^{2} T_{C}^{2}}{64 p_{C}} =\dfrac{27\times (0{,}082057)^{2}\times (305{,}4)^{2}}{64\times 48{,}2}\approx 5{,}496\\ \mathrm{L^{2}\,atm\,mol^{-2}}.

Passo 8

Agora aplico a equação de van der Waals numérica. Lembro a fórmula prática:
p=\dfrac{nRT}{V-nb} - \dfrac{a n^{2}}{V^{2}}.
Substituo os valores calculados: n=2{,}4877\\ \mathrm{mol}, R=0{,}082057, T=310{,}65\\ \mathrm{K}, V=0{,}200\\ \mathrm{L}, b=0{,}06499\\ \mathrm{L/mol}, a=5{,}496\\ \mathrm{L^{2}\,atm\,mol^{-2}}.
  • Primeiro nb:
n b = 2{,}4877\times 0{,}06499 \approx 0{,}1617\\ \mathrm{L}.
  • Volume disponível efetivo:
V-nb = 0{,}200 - 0{,}1617 = 0{,}0383\\ \mathrm{L}.
  • Primeiro termo \dfrac{nRT}{V-nb}:
nRT = 2{,}4877\times 0{,}082057\times 310{,}65\approx 63{,}366\\ \mathrm{L\cdot atm},
\dfrac{nRT}{V-nb}=\dfrac{63{,}366}{0{,}0383}\approx 1\,654{,}1\\ \mathrm{atm}.
  • Segundo termo \dfrac{a n^{2}}{V^{2}}:
n^{2}=(2{,}4877)^{2}\approx 6{,}188,
V^{2}=(0{,}200)^{2}=0{,}0400\\ \mathrm{L^{2}},
\dfrac{a n^{2}}{V^{2}}=\dfrac{5{,}496\times 6{,}188}{0{,}0400}\approx \dfrac{34{,}015}{0{,}0400}\approx 850{,}37\\ \mathrm{atm}.
  • Finalmente:
p_{\text{vdW}}=1\,654{,}1 - 850{,}37 \approx 803{,}7\\ \mathrm{atm}.

Passo 9

Resumo interpretativo rápido e incentivo: a diferença entre os resultados é grande porque aqui temos uma amostra relativamente densa (muito número de mols num volume pequeno). A lei dos gases ideais subestima efeitos de volume finito das moléculas e as correções da van der Waals mostram que, ao reduzir o volume livre V-nb, a pressão prevista cresce muito; a correção atrativa \dfrac{a n^{2}}{V^{2}} diminui um pouco essa pressão, mas o efeito do termo volumétrico domina neste caso. Você já conseguiu: passos claros, contas feitas — tá indo bem!

Resposta

(a) 316{,}8\\ \mathrm{atm}
(b) 803{,}7\\ \mathrm{atm}

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