- PROBLEMA 4

Se F(x)=\int_{x}^{x^{2}+2} \frac{t^{6}}{1+t^{4}} d t, encontre o valor de 82 \cdot\left|F^{\prime}(1)\right|.
Resposta: F^{\prime}(x)=\frac{2 x\left(x^{2}+2\right)^{6}}{1+\left(x^{2}+2\right)^{4}}-\frac{x^{6}}{1+x^{4}}. Portanto, 82 . \left|F^{\prime}(1)\right|=1417.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{x}^{\,x^{2}+2}\frac{t^{6}}{1+t^{4}}\,dt
e pede 82\cdot\bigl|F'(1)\bigr|. O conteúdo é derivação de integral com limites que dependem de x, usando a regra de Leibniz (Teorema Fundamental do Cálculo).

Passo 2

Para uma função genérica
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt
vale
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Aqui temos a(x)=x, b(x)=x^{2}+2 e f(t)=\frac{t^{6}}{1+t^{4}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1, \qquad b'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+2)=2x.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Leibniz, obtemos
F'(x) =\frac{\bigl(x^{2}+2\bigr)^{6}}{1+\bigl(x^{2}+2\bigr)^{4}}\cdot 2x \;-\; \frac{x^{6}}{1+x^{4}}\cdot 1.

Passo 5

Agora avaliamos em x=1. Primeiro note que b(1)=1^{2}+2=3, então
f\bigl(b(1)\bigr) =\frac{3^{6}}{1+3^{4}} =\frac{729}{1+81} =\frac{729}{82},
e
f\bigl(a(1)\bigr) =\frac{1^{6}}{1+1^{4}} =\frac{1}{2}.
Logo
F'(1) =\frac{729}{82}\cdot 2\;-\;\frac{1}{2} =\frac{1458}{82}-\frac{1}{2} =\frac{1458}{82}-\frac{41}{82} =\frac{1417}{82}.

Passo 6

Como F'(1)>0, temos \bigl|F'(1)\bigr|=F'(1)=\tfrac{1417}{82}. Portanto
82\cdot\bigl|F'(1)\bigr| =82\cdot\frac{1417}{82} =1417.

Resposta

1417

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