- PROBLEMA 5

Se \int \frac{z^{2}+2 z+3}{(z-6)\left(z^{2}+4\right)} d z=\frac{A}{40} \ln |z-6|-\frac{B}{80} \ln \left|z^{2}+4\right|+\frac{C}{40}. \arctan (z / 2)+K, em que K é uma constante, determine o valor de A+B+C
Resposta: A=51, B=11, C=7 e A+B+C=69.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{z^{2}+2z+3}{(z-6)\,\bigl(z^{2}+4\bigr)}\,dz
e mostrar que o resultado pode ser escrito como
\frac{A}{40}\ln\lvert z-6\rvert \;-\;\frac{B}{80}\ln\bigl\lvert z^{2}+4\bigr\rvert\;+\;\frac{C}{40}\arctan\!\bigl(\tfrac z2\bigr)\;+\;K.
O objetivo é determinar A+B+C. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais usando frações parciais, mais a integral de \int dz/(z^{2}+a^{2}) que gera arctan.

Passo 2

Fazemos decomposição em frações parciais: existe
\alpha,\;\beta,\;\gamma \quad\text{tais que}\quad \frac{z^{2}+2z+3}{(z-6)\,(z^{2}+4)} = \frac{\alpha}{z-6} + \frac{\beta\,z+\gamma}{z^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (z-6)(z^{2}+4)\) obtemos a identidade de polinômios \[z^{2}+2z+3 = \alpha\,(z^{2}+4) + (\beta\,z+\gamma)\,(z-6).
Expandindo o lado direito:
z^{2}+2z+3 = \alpha\,z^{2}+4\alpha +\beta\,z^{2}+(\gamma-6\beta)\,z -6\gamma \;=\; (\alpha+\beta)\,z^{2}+(\gamma-6\beta)\,z+(4\alpha-6\gamma).
Comparando coeficientes com 1\cdot z^{2}+2\cdot z+3 dá o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=1,\\\ \gamma-6\beta=2,\\\\ 4\alpha-6\gamma=3. \end{cases}
Resolvendo: de \alpha=1-\beta\] e \(\gamma=2+6\beta. Substituindo na terceira equação
4(1-\beta)-6(2+6\beta)=3 \;\Longrightarrow\; 4-4\beta-12-36\beta=3 \;\Longrightarrow\; -8-40\beta=3 \;\Longrightarrow\; \beta=-\tfrac{11}{40}.
Logo \alpha=1-(-\tfrac{11}{40})=\tfrac{51}{40}
e \gamma=2+6(-\tfrac{11}{40})=2-\tfrac{66}{40}=\tfrac{14}{40}=\tfrac{7}{20}.

Passo 3

Reescrevendo a integral com os valores de \alpha,\beta,\gamma:
\int \frac{z^{2}+2z+3}{(z-6)(z^{2}+4)}\,dz = \int\!\Bigl(\frac{51/40}{z-6} -\frac{11/40\,z}{z^{2}+4} +\frac{7/20}{z^{2}+4}\Bigr)\,dz.
Separamos em três integrais:
  1. \displaystyle \frac{51}{40}\int\frac{dz}{z-6}=\frac{51}{40}\ln\lvert z-6\rvert.
  2. \displaystyle -\frac{11}{40}\int\frac{z\,dz}{z^{2}+4}. Use u=z^{2}+4, du=2z\,dz, logo
\int\frac{z\,dz}{z^{2}+4} =\frac12\int\frac{du}{u} =\frac12\ln\bigl(z^{2}+4\bigr),
e toda parte vale -\frac{11}{40}\cdot\frac12\ln(z^{2}+4)=-\frac{11}{80}\ln\bigl(z^{2}+4\bigr).
3) \displaystyle \frac{7}{20}\int\frac{dz}{z^{2}+4}. Como \int dz/(z^{2}+a^{2})=(1/a)\arctan(z/a), para a=2 vem
\int\frac{dz}{z^{2}+4} =\frac1{2}\arctan\!\bigl(\tfrac z2\bigr),
logo o termo é \frac{7}{20}\cdot\frac1{2}\arctan(z/2)=\frac{7}{40}\arctan(z/2).

Passo 4

Reunindo tudo, o resultado é
\frac{51}{40}\ln\lvert z-6\rvert \;-\;\frac{11}{80}\ln\bigl(z^{2}+4\bigr) \;+\;\frac{7}{40}\arctan\!\bigl(\tfrac z2\bigr) \;+\;K.
Comparando com a forma dada
\frac{A}{40}\ln\lvert z-6\rvert \;-\;\frac{B}{80}\ln\lvert z^{2}+4\rvert \;+\;\frac{C}{40}\arctan\!\bigl(\tfrac z2\bigr),
vemos que A=51, B=11 e C=7.

Resposta

A+B+C=51+11+7=69.

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