(Problema integrador) Um circuito é formado por uma bateria ideal de 24 V , um resistor R=8 \Omega, um indutor de indutância L=0.20 \mathrm{H} e um capacitor de capacitância C=50 \mu \mathrm{~F}, todos em série. Inicialmente o capacitor está descarregado e o circuito é fechado em t=0.
(a) Calcule a energia máxima que pode ser armazenada no capacitor.
(b) Calcule a energia máxima que pode ser armazenada no indutor.
(c) Discuta qualitativamente a transferência de energia entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor ao longo do tempo (não é necessário resolver a equação diferencial completa).

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com bateria ideal de tensão V_0=24\\ \mathrm{V}, resistor R=8\\ \Omega, indutor L=0{,}20\\ \mathrm{H} e capacitor C=50\\ \mu\mathrm{F}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F}. O capacitor está descarregado em t=0 e o circuito é fechado em t=0.
O que o problema pede:
(a) Calcular a energia máxima que pode ser armazenada no capacitor.
(b) Calcular a energia máxima que pode ser armazenada no indutor.
(c) Fazer uma discussão qualitativa sobre a transferência de energia entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor ao longo do tempo.
Informações relevantes dadas:
  • V_0=24\\ \mathrm{V}.
  • R=8\\ \Omega.
  • L=0{,}20\\ \mathrm{H}.
  • C=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Condições iniciais: q(0)=0 (capacitor descarregado) e i(0)=0 (corrente inicial nula, pois o indutor impede variação instantânea de corrente).

Passo 2

Primeiro algumas fórmulas e conceitos que vamos usar (aulas rápidas):
  • Energia armazenada no capacitor: U_C(t)=\frac{q(t)^2}{2C}=\frac{1}{2}C\,v_C(t)^2, onde q(t) é a carga e v_C(t)=q(t)/C é a tensão no capacitor.
  • Energia armazenada no indutor: U_L(t)=\frac{1}{2}L\,i(t)^2, onde i(t) é a corrente no indutor.
  • A equação diferencial de um circuito série R\!-\!L\!-\!C alimentado por uma fonte DC V_0 para a carga q(t) é: L\,q''(t)+R\,q'(t)+\frac{1}{C}q(t)=V_0, com q(0)=0 e q'(0)=i(0)=0.
  • Definições úteis (parâmetros do sistema): \alpha=\frac{R}{2L}\quad(\text{coeficiente de amortecimento}),\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad(\text{frequência natural}),êe, para o caso subamortecido ( \alpha<\omega_0), \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\quad(\text{frequência amortecida}).ê
Vou usar essas fórmulas para obter expressões para v_C(t) e i(t) e daí achar os máximos pedidos.

Passo 3

Resolver a equação diferencial de forma direta (passo-a-passo didático):
  • A solução geral para q(t) é soma da solução particular (estado estacionário) e da solução transiente (homogênea amortecida): q(t)=q_{\mathrm{ss}}+q_{\mathrm{h}}(t).
  • A solução particular para uma fonte constante V_0 é a carga em regime permanente q_{\mathrm{ss}}=C V_0.
  • A solução homogênea (subamortecida) tem forma q_{\mathrm{h}}(t)=e^{-\alpha t}\big(B\cos(\omega_d t)+D\sin(\omega_d t)\big).
  • Impondo as condições iniciais q(0)=0 e q'(0)=0, determinam-se B e D:
    • q(0)=0\Rightarrow 0=C V_0+B\Rightarrow B=-C V_0.
    • Derivando q(t) para ter i(t)=q'(t) e impondo q'(0)=0 obtém-se D=-\dfrac{\alpha}{\omega_d}\,C V_0.
  • Portanto a solução completa para q(t) é q(t)=C V_0\Big[1-e^{-\alpha t}\Big(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\Big)\Big].
  • A tensão no capacitor é v_C(t)=\frac{q(t)}{C}=V_0\Big[1-e^{-\alpha t}\Big(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\Big)\Big].
  • A corrente é i(t)=q'(t). A expressão simplificada para i(t) é (usar a relação \omega_0^2=1/(LC)): i(t)=\frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t).(se quiser derivação completa, ver substituições acima; essa forma é muito útil para localizar máximos de corrente).

Passo 4

Identificar quando ocorrem máximos/mínimos úteis:
  • Máximo da tensão (e portanto da energia do capacitor) ocorre quando i(t)=0 e o ponto é um máximo. Pela expressão de i(t), i(t)=0 quando \sin(\omega_d t)=0, ou seja \omega_d t=n\pi. O primeiro extremo não-trivial (após t=0) é para n=1, isto é t_1=\frac{\pi}{\omega_d}.Avaliando v_C em t_1: como \sin(\omega_d t_1)=0 e \cos(\omega_d t_1)=\cos\pi=-1, v_{C,\max}=v_C(t_1)=V_0\big[1-e^{-\alpha t_1}(-1)\big]=V_0\big(1+e^{-\alpha \pi/\omega_d}\big).Essa é a primeira e maior “sobressinal” (overshoot) da tensão no capacitor; por causa do amortecimento a próxima oscilação terá amplitude menor.
  • Portanto a energia máxima no capacitor é U_{C,\max}=\frac{1}{2}C\,v_{C,\max}^2 =\frac{1}{2}C\,V_0^2\big(1+e^{-\alpha \pi/\omega_d}\big)^2.
  • Para a corrente (e energia do indutor), buscar máximo de i(t)=I_0 e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t) com I_0=\dfrac{V_0}{L\omega_d}. Tomando derivada e anulando, obtém-se a condição \tan(\omega_d t)=\frac{\omega_d}{\alpha}.A primeira solução positiva é t_{\mathrm{ip}}=\frac{1}{\omega_d}\arctan\!\Big(\frac{\omega_d}{\alpha}\Big).Nessa hora a seno e o fator exponencial não simplificam tão elegantemente, então usamos a forma direta para avaliar numericamente: i_{\max}= \frac{V_0}{L\omega_d}\,e^{-\alpha t_{\mathrm{ip}}}\sin(\omega_d t_{\mathrm{ip}}),e U_{L,\max}=\frac{1}{2}L\,i_{\max}^2.

Passo 5

Agora calcular os parâmetros numéricos do circuito (cálculos passo a passo, sem pular etapas):
  • Calcular \alpha: \alpha=\frac{R}{2L}=\frac{8}{2\cdot0{,}20}=\frac{8}{0{,}4}=20\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Calcular \omega_0: \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}20\cdot50\times10^{-6}}} =\frac{1}{\sqrt{1\times10^{-5}}}=\frac{1}{10^{-2{,}5}}\approx316{,}2278\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular \omega_d: \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2} =\sqrt{316{,}2278^2-20^2}=\sqrt{100000-400}\approx315{,}619\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular U_{C,\max} numericamente:
  • Tempo do primeiro máximo do capacitor: t_1=\frac{\pi}{\omega_d}\approx\frac{3{,}14159}{315{,}619}\approx0{,}0099589\\ \mathrm{s}.
  • Exponencial amortecida: e^{-\alpha t_1}=e^{-20\cdot0{,}0099589}\approx e^{-0{,}19918}\approx0{,}8193.
  • Tensãomáx no capacitor: v_{C,\max}=V_0\big(1+e^{-\alpha\pi/\omega_d}\big)\approx24\big(1+0{,}8193\big)\approx24\cdot1{,}8193\approx43{,}663\\ \mathrm{V}.
  • Energia máxima no capacitor: U_{C,\max}=\tfrac{1}{2}C\,v_{C,\max}^2 =\tfrac{1}{2}\cdot50\times10^{-6}\cdot(43{,}663)^2 \approx0{,}04767\\ \mathrm{J}.
Comentário intuitivo: observe que v_{C,\max}>V_0 — há overshoot porque energia do indutor e do campo faz com que o capacitor ultrapasse a tensão da bateria antes do amortecimento dissipar essa energia.

Passo 7

Calcular U_{L,\max} numericamente:
  • Constante I_0: I_0=\frac{V_0}{L\omega_d}=\frac{24}{0{,}20\cdot315{,}619}\approx\frac{24}{63{,}1238}\approx0{,}38028\\ \mathrm{A}.
  • Tempo do primeiro pico de corrente: t_{\mathrm{ip}}=\frac{1}{\omega_d}\arctan\!\Big(\frac{\omega_d}{\alpha}\Big) =\frac{1}{315{,}619}\arctan\!\Big(\frac{315{,}619}{20}\Big).Calculemos: \frac{\omega_d}{\alpha}\approx\frac{315{,}619}{20}\approx15{,}78095,\qquad \arctan(15{,}78095)\approx1{,}50758\\ \mathrm{rad}.Logo t_{\mathrm{ip}}\approx\frac{1{,}50758}{315{,}619}\approx0{,}0047781\\ \mathrm{s}.
  • Avaliar exponencial e seno: e^{-\alpha t_{\mathrm{ip}}}=e^{-20\cdot0{,}0047781}\approx e^{-0{,}095562}\approx0{,}90883,
\sin(\omega_d t_{\mathrm{ip}})=\sin(1{,}50758)\approx0{,}99888.
  • Então a corrente máxima aproximada é i_{\max}=I_0\,e^{-\alpha t_{\mathrm{ip}}}\sin(\omega_d t_{\mathrm{ip}}) \approx0{,}38028\cdot0{,}90883\cdot0{,}99888\approx0{,}34537\\ \mathrm{A}.
  • Energia máxima no indutor: U_{L,\max}=\tfrac{1}{2}L\,i_{\max}^2 =\tfrac{1}{2}\cdot0{,}20\cdot(0{,}34537)^2 \approx0{,}01193\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Discussão qualitativa (explicação didática e física do que acontece no tempo):
  • Imediatamente após fechar o circuito, o capacitor está descarregado ( v_C(0)=0) e o indutor impede variação instantânea de corrente ( i(0)=0). A bateria tenta empurrar corrente pelo circuito; a corrente cresce de forma suave porque o indutor armazena energia magnética e se opõe à mudança de corrente.
  • O sistema RLC subamortecido oscila: energia é trocada entre o campo elétrico do capacitor (energia U_C) e o campo magnético do indutor (energia U_L). Quando o capacitor está carregado (tensão máxima), parte da sua energia passa para o indutor transformando-se em corrente; quando a corrente é máxima, a energia está principalmente no indutor.
  • Devido ao resistor R, parte da energia é dissipada em forma de calor durante cada oscilação. Assim, a amplitude das oscilações decai exponencialmente com tempo (fator e^{-\alpha t}), e eventualmente o circuito tende a regime estacionário em que i\to0 e v_C\to V_0. No regime estacionário a energia armazenada final é U_{C,\infty}=\tfrac{1}{2}C V_0^2 (aqui \approx0{,}0144\\ \mathrm{J}), menor do que o pico instantâneo do capacitor porque parte da energia foi dissipada.
  • Observações de tempos e picos: o primeiro pico de tensão do capacitor (overshoot) ocorre em t_1=\pi/\omega_d e excede V_0 (por isso U_{C,\max} pode ser maior que \tfrac{1}{2}C V_0^2). O primeiro pico de corrente (logo após) ocorre em t_{\mathrm{ip}}=(1/\omega_d)\arctan(\omega_d/\alpha). A energia vai alternando entre U_C e U_L enquanto a resistência vai reduzindo a energia total disponível.
  • Intuição física simples: o indutor “empurra” a corrente que carrega o capacitor além do valor estático da bateria, gerando o overshoot; depois a dissipação reduz gradualmente tudo até o valor estacionário.

Resposta

(a) U_{C,\max}\approx4{,}77\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.
(b) U_{L,\max}\approx1{,}19\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.
(c) A energia oscila entre o capacitor e o indutor (campo elétrico ↔ campo magnético) com frequência amortecida \omega_d; há overshoot do capacitor ( v_C>V_0) e picos de corrente no indutor, enquanto o resistor dissipa energia fazendo as oscilações decaírem até o regime estacionário v_C\to V_0,\\ i\to0.

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