(Problema integrador) Um circuito é formado por uma bateria ideal de 24 V , um resistor
, um indutor de indutância
e um capacitor de capacitância
, todos em série. Inicialmente o capacitor está descarregado e o circuito é fechado em
.
(a) Calcule a energia máxima que pode ser armazenada no capacitor.
(b) Calcule a energia máxima que pode ser armazenada no indutor.
(c) Discuta qualitativamente a transferência de energia entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor ao longo do tempo (não é necessário resolver a equação diferencial completa).
(a) Calcule a energia máxima que pode ser armazenada no capacitor.
(b) Calcule a energia máxima que pode ser armazenada no indutor.
(c) Discuta qualitativamente a transferência de energia entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor ao longo do tempo (não é necessário resolver a equação diferencial completa).
Passo 1
O enunciado dá um circuito série com bateria ideal de tensão
, resistor
, indutor
e capacitor
. O capacitor está descarregado em
e o circuito é fechado em
.
O que o problema pede:
(a) Calcular a energia máxima que pode ser armazenada no capacitor.
(b) Calcular a energia máxima que pode ser armazenada no indutor.
(c) Fazer uma discussão qualitativa sobre a transferência de energia entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor ao longo do tempo.
(a) Calcular a energia máxima que pode ser armazenada no capacitor.
(b) Calcular a energia máxima que pode ser armazenada no indutor.
(c) Fazer uma discussão qualitativa sobre a transferência de energia entre o campo elétrico do capacitor e o campo magnético do indutor ao longo do tempo.
Informações relevantes dadas:
-
. -
. -
. -
. - Condições iniciais:
(capacitor descarregado) e (corrente inicial nula, pois o indutor impede variação instantânea de corrente).
Passo 2
Primeiro algumas fórmulas e conceitos que vamos usar (aulas rápidas):
- Energia armazenada no capacitor:
onde é a carga e é a tensão no capacitor. - Energia armazenada no indutor:
onde é a corrente no indutor. - A equação diferencial de um circuito série
alimentado por uma fonte DC para a carga é: com e . - Definições úteis (parâmetros do sistema):
e, para o caso subamortecido ( ),
Vou usar essas fórmulas para obter expressões para
e
e daí achar os máximos pedidos.
Passo 3
Resolver a equação diferencial de forma direta (passo-a-passo didático):
- A solução geral para
é soma da solução particular (estado estacionário) e da solução transiente (homogênea amortecida): - A solução particular para uma fonte constante
é a carga em regime permanente . - A solução homogênea (subamortecida) tem forma
- Impondo as condições iniciais
e , determinam-se e : -
- Derivando
para ter e impondo obtém-se .
-
- Portanto a solução completa para
é - A tensão no capacitor é
- A corrente é
. A expressão simplificada para é (usar a relação ): (se quiser derivação completa, ver substituições acima; essa forma é muito útil para localizar máximos de corrente).
Passo 4
Identificar quando ocorrem máximos/mínimos úteis:
- Máximo da tensão (e portanto da energia do capacitor) ocorre quando
e o ponto é um máximo. Pela expressão de , quando , ou seja . O primeiro extremo não-trivial (após ) é para , isto é Avaliando em : como e , Essa é a primeira e maior “sobressinal” (overshoot) da tensão no capacitor; por causa do amortecimento a próxima oscilação terá amplitude menor. - Portanto a energia máxima no capacitor é
- Para a corrente (e energia do indutor), buscar máximo de
com . Tomando derivada e anulando, obtém-se a condição A primeira solução positiva é Nessa hora a seno e o fator exponencial não simplificam tão elegantemente, então usamos a forma direta para avaliar numericamente: e
Passo 5
Agora calcular os parâmetros numéricos do circuito (cálculos passo a passo, sem pular etapas):
- Calcular
: - Calcular
: - Calcular
:
Passo 6
Calcular
numericamente:
- Tempo do primeiro máximo do capacitor:
- Exponencial amortecida:
- Tensãomáx no capacitor:
- Energia máxima no capacitor:
Comentário intuitivo: observe que
— há overshoot porque energia do indutor e do campo faz com que o capacitor ultrapasse a tensão da bateria antes do amortecimento dissipar essa energia.
Passo 7
Calcular
numericamente:
- Constante
: - Tempo do primeiro pico de corrente:
Calculemos: Logo - Avaliar exponencial e seno:
- Então a corrente máxima aproximada é
- Energia máxima no indutor:
Passo 8
Discussão qualitativa (explicação didática e física do que acontece no tempo):
- Imediatamente após fechar o circuito, o capacitor está descarregado (
) e o indutor impede variação instantânea de corrente ( ). A bateria tenta empurrar corrente pelo circuito; a corrente cresce de forma suave porque o indutor armazena energia magnética e se opõe à mudança de corrente. - O sistema RLC subamortecido oscila: energia é trocada entre o campo elétrico do capacitor (energia
) e o campo magnético do indutor (energia ). Quando o capacitor está carregado (tensão máxima), parte da sua energia passa para o indutor transformando-se em corrente; quando a corrente é máxima, a energia está principalmente no indutor. - Devido ao resistor
, parte da energia é dissipada em forma de calor durante cada oscilação. Assim, a amplitude das oscilações decai exponencialmente com tempo (fator ), e eventualmente o circuito tende a regime estacionário em que e . No regime estacionário a energia armazenada final é (aqui ), menor do que o pico instantâneo do capacitor porque parte da energia foi dissipada. - Observações de tempos e picos: o primeiro pico de tensão do capacitor (overshoot) ocorre em
e excede (por isso pode ser maior que ). O primeiro pico de corrente (logo após) ocorre em . A energia vai alternando entre e enquanto a resistência vai reduzindo a energia total disponível. - Intuição física simples: o indutor “empurra” a corrente que carrega o capacitor além do valor estático da bateria, gerando o overshoot; depois a dissipação reduz gradualmente tudo até o valor estacionário.
Resposta
(a)
(b)
(c) A energia oscila entre o capacitor e o indutor (campo elétrico ↔ campo magnético) com frequência amortecida ; há overshoot do capacitor (
) e picos de corrente no indutor, enquanto o resistor dissipa energia fazendo as oscilações decaírem até o regime estacionário
.
(b)
(c) A energia oscila entre o capacitor e o indutor (campo elétrico ↔ campo magnético) com frequência amortecida