(Circuito RL simples) Considere um circuito RL série, com
e
0.40 H , ligado a uma bateria de 12 V . O interruptor é fechado em
.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve a variação da corrente no circuito.
(b) Encontre a expressão para
durante o crescimento da corrente.
(c) Calcule a constante de tempo
do circuito e o valor de
em
.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve a variação da corrente no circuito.
(b) Encontre a expressão para
(c) Calcule a constante de tempo
Passo 1
O enunciado dá um circuito série
com os seguintes dados:
-
. -
. - Fonte de tensão constante
. - O interruptor é fechado em
.
O enunciado pede:
(a) Escrever a equação diferencial que descreve a variação da corrente no circuito.
(b) Encontrar a expressão de durante o crescimento da corrente (para
).
(c) Calcular a constante de tempo do circuito e o valor de
em
.
(a) Escrever a equação diferencial que descreve a variação da corrente
(b) Encontrar a expressão de
(c) Calcular a constante de tempo
Passo 2
Vamos escrever a equação física que relaciona tensões no circuito. Pelo método de malha / Lei de Kirchhoff das tensões, a soma algébrica das quedas de tensão no resistor e no indutor deve igualar a tensão da bateria. As expressões que precisamos conhecer:
- Queda no resistor:
. - Queda no indutor:
.
Essas fórmulas significam: o resistor dá uma queda proporcional à corrente (lei de Ohm) e o indutor tem uma tensão proporcional à taxa de variação da corrente. Aplicando Kirchhoff:
Passo 3
Substituindo as expressões das quedas na equação de Kirchhoff obtemos a equação diferencial para
:
Reorganizando para a forma padrão de primeira ordem:
Condição inicial física: no instante imediatamente antes de fechar o interruptor a corrente era zero, e o indutor impede variações instantâneas, portanto
Passo 4
Agora vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
Dividindo tudo por
para escrever na forma canônica:
Método de solução (explicação didática): a solução geral é soma da solução da homogênea e de uma particular. A homogênea atende
cuja solução é exponencial:
onde
é constante determinada pela condição inicial. Uma solução particular constante da equação não homogênea é o valor estacionário
tal que
, logo
Assim a solução geral é
Aplicando a condição inicial
:
Portanto
(Observação alternativa com fator integrante: multiplicando a equação padrão por
obtém-se a mesma expressão após integrar; o procedimento é equivalente.)
Passo 5
Substituindo os valores numéricos para obter a expressão explícita:
- Primeiro o valor de regime estacionário:
- A taxa de decaimento (o expoente) é
.
Logo a solução com números fica
Passo 6
Agora a constante de tempo do circuito indutivo é
Calculando numericamente:
O valor da corrente em
usando a fórmula encontrada é
Cálculo numérico de
:
, então
e portanto
Passo 7
Interpretação física curta e motivadora: no instante
a corrente começa em
(o indutor se opõe à mudança brusca). Ela cresce exponencialmente em direção ao valor final
com característica temporal
. Após tempos da ordem de alguns
(por exemplo
), a corrente estará muito próxima do valor de regime.
Resposta
(a)
\newline
(b) \newline
(c)
(b)
(c)