Problema LQR com horizonte infinito
3. Dada a seguinte planta de terceira ordem:
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t) \\\ & \dot{x}_{2}(t)=x_{3}(t) \\\ & \dot{x}_{3}(t)=-5 x_{1}(t)+7 x_{2}(t)-10 x_{3}(t)+u(t) \end{aligned}
e o índice de desempenho é:
J=\int_{0}^{\infty}\left[q_{11} x_{1}^{2}(t)+q_{22} x_{2}^{2}(t)+q_{33} x_{3}^{2}(t)+r u^{2}(t)\right] d t
determine a solução positiva definida para a matriz de coeficientes de Riccati \boldsymbol{P}, a matriz de ganho de realimentação ótima \boldsymbol{K} e os autovalores do sistema em malha fechada \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}.
para:
(b) q_{11}=10, q_{22}=q_{33}=1, r=1.

Passo 1

O enunciado dá a planta de ordem três
\dot x(t)=A\,x(t)+B\,u(t),
com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1\\[6pt] -5 & 7 & -10 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
e pede o LQR de horizonte infinito com
Q=\operatorname{diag}(q_{11},q_{22},q_{33}) =\operatorname{diag}(10,1,1), \quad R=1.
O objetivo é achar a matriz positiva–definida P que satisfaz a equação de Riccati contínua
A^T P + P\,A - P\,B\,R^{-1}B^T P + Q = 0,
depois obter o ganho ótimo
K = R^{-1}B^T P = B^T P,
e por fim os autovalores de A - B\,K.]

Passo 2

Escrevemos P genérico simétrico
P = \begin{pmatrix} p_{1} & p_{2} & p_{3}\\[4pt] p_{2} & p_{4} & p_{5}\\[4pt] p_{3} & p_{5} & p_{6} \end{pmatrix}
e substituímos na equação de Riccati
A^T P + P\,A - P\,B\,B^T P + Q = 0.
Dessa comparação surge um sistema de seis equações não-lineares em p_{1},\dots,p_{6}.]

Passo 3

Isolamos primeiro p_{3} da equação (1,1), depois usamos as equações (2,2) e (3,3) para ligar p_{2},p_{5},p_{6}. Em seguida determinamos p_{1} e p_{4} via as entradas (1,2) e (2,3). Como o sistema é não-linear, recorre-se a um método iterativo ou a uma ferramenta de cálculo simbólico/numerérico (por ex. o comando care do MATLAB) para achar a única solução P\succ0.

Passo 4

Resolvendo numericamente (por exemplo via care(A,B,Q,1)), obtém-se aproximadamente
P \approx \begin{pmatrix} 90.20 & 18.50 & 0.916\\[4pt] 18.50 &176.93 &16.33\\[4pt] 0.916 &16.33 &1.560 \end{pmatrix}.]

Passo 5

O ganho ótimo é
K = B^T P = \bigl[p_{3},\,p_{5},\,p_{6}\bigr] \approx \bigl[\,0.916,\;16.33,\;1.560\bigr].

Passo 6

A matriz em malha fechada vale
A_{\rm cl} = A - B\,K = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -5.916 & -9.33 & -11.56 \end{pmatrix}.
Seu polinômio característico é
s^3 +11.56\,s^2 +9.33\,s +5.916=0,
cujas raízes (autovalores) calculadas numericamente são
-10.75,\quad -0.41 \pm 0.62\,\mathrm{i},
todas com parte real negativa, garantindo estabilidade.]

Resposta

P ≈ \displaystyle \begin{pmatrix} 90.20 & 18.50 & 0.916\\\\ 18.50 &176.93 &16.33\\\\ 0.916 &16.33 &1.560 \end{pmatrix},
K ≈ \bigl[0.916,\;16.33,\;1.560\bigr],
autovalores ≈ \{-10.75,\;-0.41\pm0.62\,\mathrm{i}\}.

Exercícios relacionados