J=\int_{0}^{\infty}\left[q_{11} x_{1}^{2}(t)+q_{22} x_{2}^{2}(t)+q_{33} x_{3}^{2}(t)+r u^{2}(t)\right] d t
determine a solução positiva definida para a matriz de coeficientes de Riccati \boldsymbol{P}, a matriz de ganho de realimentação ótima \boldsymbol{K} e os autovalores do sistema em malha fechada \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}.
para:
(c) q_{11}=q_{22}=q_{33}=1, r=10.
Passo 1
Estamos diante de um problema de controle ótima do tipo LQR em tempo contínuo com horizonte infinito. A planta é de terceira ordem:
onde I_{3} é a identidade 3\times3. O termo P\,B\,B^{T}P é o produto de posto-1 \bigl[P(:,3)\bigr]\bigl[P(3,:)\bigr]. Substituindo A, B e Q=I, obtemos um sistema não-linear de seis equações nas seis variáveis independentes dos elementos de P.
Passo 3
Resolvendo numericamente a CARE (por exemplo em MATLAB ou Python usando às funções care ou lqr), encontramos a solução simétrica positiva definida