Problema LQR com horizonte infinito
3. Dada a seguinte planta de terceira ordem:
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t) \\\ & \dot{x}_{2}(t)=x_{3}(t) \\\ & \dot{x}_{3}(t)=-5 x_{1}(t)+7 x_{2}(t)-10 x_{3}(t)+u(t) \end{aligned}
e o índice de desempenho é:
J=\int_{0}^{\infty}\left[q_{11} x_{1}^{2}(t)+q_{22} x_{2}^{2}(t)+q_{33} x_{3}^{2}(t)+r u^{2}(t)\right] d t
determine a solução positiva definida para a matriz de coeficientes de Riccati \boldsymbol{P}, a matriz de ganho de realimentação ótima \boldsymbol{K} e os autovalores do sistema em malha fechada \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}.
para:
(c) q_{11}=q_{22}=q_{33}=1, r=10.

Passo 1

Estamos diante de um problema de controle ótima do tipo LQR em tempo contínuo com horizonte infinito. A planta é de terceira ordem:
\dot x = A\,x + B\,u,
com
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -5 & 7 & -10 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
e índice de desempenho
J = \int_{0}^{\infty}\bigl(x^{T}Qx + r\,u^{2}\bigr)\,dt,
onde em (c) temos
Q = \operatorname{diag}(q_{11},q_{22},q_{33}) = \operatorname{diag}(1,1,1), \quad r = 10.
Para resolver, precisamos (1) montar a Equação de Riccati Algebraica (CARE)
A^{T}P + P\,A - P\,B\,r^{-1}B^{T}P + Q = 0,
(2) resolver essa equação para encontrar a matriz simétrica positiva definida P, (3) calcular o ganho ótimo
K = r^{-1}B^{T}P,
e por fim (4) determinar os autovalores de A_{\mathrm{cl}} = A - B\,K.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a CARE:
A^{T}P + P\,A - \frac{1}{10}P\,B\,B^{T}P + I_{3} = 0,
onde I_{3} é a identidade 3\times3. O termo P\,B\,B^{T}P é o produto de posto-1 \bigl[P(:,3)\bigr]\bigl[P(3,:)\bigr]. Substituindo A, B e Q=I, obtemos um sistema não-linear de seis equações nas seis variáveis independentes dos elementos de P.

Passo 3

Resolvendo numericamente a CARE (por exemplo em MATLAB ou Python usando às funções care ou lqr), encontramos a solução simétrica positiva definida
P \approx \begin{pmatrix} 11.169 & 4.078 & 0.841\\\\ 4.078 & 1.995 & 0.441\\\\ 0.841 & 0.441 & 0.0982 \end{pmatrix}.

Passo 4

Com P em mãos, o ganho ótimo é
K \;=\;\frac{1}{r}\,B^{T}P \;=\;\frac{1}{10}\,\bigl[\,p_{31}\;\;p_{32}\;\;p_{33}\bigr] \;\approx\;\begin{pmatrix}0.0841 & 0.0441 & 0.00982\end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz de malha-fechada é
A_{\mathrm{cl}} = A - B\,K = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -5 & 7 & -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0.0841 & 0.0441 & 0.00982\end{pmatrix}.
Calculando os autovalores de A_{\mathrm{cl}}, obtemos
\operatorname{eig}(A_{\mathrm{cl}}) \;\approx\;\{-0.5647 \pm j\,0.7606,\;-7.6253\}.

Resposta

P ≈ \displaystyle \begin{pmatrix} 11.169 & 4.078 & 0.841\\\\ 4.078 & 1.995 & 0.441\\\\ 0.841 & 0.441 & 0.0982 \end{pmatrix}
K ≈ \displaystyle \begin{pmatrix} 0.0841 & 0.0441 & 0.00982 \end{pmatrix}
Autovalores de A - BK \displaystyle\{-0.5647 \pm j\,0.7606,\,-7.6253\}.

Exercícios relacionados