O problema da matéria escura em galáxias espirais. Na década de 1970 diversos pesquisadores se dedicaram à observação e medida das curvas de rotação de galáxias espirais, isto é, à determinação da velocidade v_{c}(r) das estrelas em órbitas circulares ao redor do centro de discos galácticos. É sabido que v_{c}(r) não depende do ângulo azimutal \varphi. Se R é o raio do disco estelar, espera-se pela lei da gravitação universal que v_{c}(r) \approx \sqrt{G M / r} para r \gg R. O hidrogênio neutro, que faz parte do gás presente no disco galáctico, que se estende para raios muito maiores que o do disco estelar mas tem uma contribuição muito baixa para seu campo gravitacional. Pela observação do do desvio das linhas espectrais do hidrogênio neutro é possível obter a curva de rotação do gás para r \gg R.
Inesperadamente, medidas de v_{c}(r) na região r \gg R nos dão uma curva de rotação aproximadamente plana, como na figura abaixo, em desacordo com as previsões da gravitação newtoniana. A explicação mais aceita atualmente pela comunidade científica para essa discrepância é a existência de um halo esférico de matéria escura, matéria não-bariônica que interage apenas gravitacionalmente com a matéria visível (por não interagir eletromagneticamente, não emite luz, não sendo possível detectá-la utilizando telescópios).
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Figure 1: Figure 1: A - predição da gravitação newtoniana; B - curva de rotação observada
a) Considere um modelo em que a única componente relevante para o campo gravitacional do sistema seja o halo esférico de matéria escura. Suponha que a curva de rotação seja totalmente plana, isto é, v_{c}(r)=V= constante para todo r. Calcule a massa do halo contida em uma esfera de raio r.
b) Calcule a densidade volumétrica de matéria escura \rho(r) do halo, sabendo que \rho \rightarrow 0 quando r \rightarrow \infty.
c) Calcule o potencial gravitacional \Phi(r) associado a \rho(r), supondo que \Phi\left(r_{o}\right)=\Phi_{o}.
d) As curvas de rotação, na realidade, não são constantes (como pode ser visto na figura acima). Um modelo proposto na literatura na década de 1980, o halo logarítmico de Binney, tem o potencial gravitacional dado por
\Phi(r)=A \ln \left(1+\frac{r}{r_{o}}\right)
onde r_{o} e A são constantes. Calcule a curva de rotação associada a esse potencial \left(v_{c}(r)=r \dot{\varphi}\right) e dê o significado físico da constante A.
e) Calcule a massa total do halo logarítmico de Binney dentro de uma esfera de raio r.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas listadas abaixo.
  • Dados relevantes:
    • A curva de rotação azimutal é independente de \varphi e só depende de r.
    • Em boa aproximação, no modelo pedido, a velocidade circular é constante para todo r: v_{c}(r)=V (constante).
    • Para o halo logarítmico de Binney é dado o potencial \displaystyle \Phi(r)=A\ln\!\left(1+\frac{r}{r_{o}}\right), com A e r_{o} constantes.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular a massa do halo contida numa esfera de raio r, supondo v_{c}(r)=V constante.
    (b) Calcular a densidade volumétrica \rho(r) do halo (com \rho\to0 quando r\to\infty).
    (c) Calcular o potencial \Phi(r) associado a \rho(r), supondo \Phi(r_{o})=\Phi_{o}.
    (d) Para \Phi(r)=A\ln\!\left(1+\dfrac{r}{r_{o}}\right): calcular v_{c}(r) e interpretar fisicamente A.
    (e) Calcular a massa total do halo de Binney dentro de uma esfera de raio r.

Passo 2

Entender a relação básica entre velocidade circular e massa interna.
  • Para uma órbita circular de raio r a aceleração centrípeta tem módulo \dfrac{v_{c}^{2}}{r}.
  • A atração gravitacional, para uma distribuição esférica, é determinada apenas pela massa interior M(r) (teorema da casca esférica): a aceleração gravitacional dirigida para o centro tem módulo \dfrac{G\,M(r)}{r^{2}}.
  • Igualando centrípeta e gravidade (módulos): \frac{v_{c}^{2}}{r}=\frac{G\,M(r)}{r^{2}}.Esta é a fórmula fundamental que relaciona v_{c}(r) e M(r).

Passo 3

Respondo a (a): massa interior M(r) quando v_{c}(r)=V é constante.
  • Partindo de \dfrac{v_{c}^{2}}{r}=\dfrac{G\,M(r)}{r^{2}} e substituindo v_{c}=V: \frac{V^{2}}{r}=\frac{G\,M(r)}{r^{2}}.
  • Isolando M(r): M(r)=\frac{V^{2}}{G}\,r.
  • Interpretação rápida: massa cresce linearmente com r. Isso explica por que, se V é constante, a massa interior deve aumentar indefinidamente com o raio.

Passo 4

Respondo a (b): densidade volumétrica \rho(r).
  • A massa interior também é dada pela integral da densidade esférica: M(r)=4\pi\int_{0}^{r}\rho(r')\,{r'}^{2}\,dr'.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a r (regra fundamental do cálculo para integrais dependentes do limite superior): \frac{dM}{dr}=4\pi r^{2}\rho(r).
  • Mas de (a) \dfrac{dM}{dr}=\dfrac{V^{2}}{G}. Igualando: 4\pi r^{2}\rho(r)=\frac{V^{2}}{G}.
  • Logo, \rho(r)=\frac{V^{2}}{4\pi G}\,\frac{1}{r^{2}}.
  • Observação sobre o comportamento quando r\to\infty: \rho(r)\propto 1/r^{2}\to 0, conforme pedido.

Passo 5

Respondo a (c): potencial \Phi(r) associado a \rho(r) com condição \Phi(r_{o})=\Phi_{o}.
  • Relação entre potencial e aceleração radial: a aceleração gravitacional radial é a_{r}=-\dfrac{G\,M(r)}{r^{2}} e, por definição, a_{r}=-\dfrac{d\Phi}{dr}. Portanto -\frac{d\Phi}{dr}=-\frac{G\,M(r)}{r^{2}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{d\Phi}{dr}=\frac{G\,M(r)}{r^{2}}.
  • Outra forma útil (usada para órbitas circulares) é a relação direta v_{c}^{2}=r\,\frac{d\Phi}{dr},que vem de multiplicar a igualdade anterior por r e usar v_{c}^{2}=GM(r)/r.
  • Para v_{c}=V constante obtemos \frac{d\Phi}{dr}=\frac{V^{2}}{r}.
  • Integrando com a condição \Phi(r_{o})=\Phi_{o}: \Phi(r)=\Phi_{o}+V^{2}\int_{r_{o}}^{r}\frac{1}{r'}\,dr'=\Phi_{o}+V^{2}\ln\!\left(\frac{r}{r_{o}}\right).
  • Observação: esse potencial cresce logaritmicamente com r; para uma distribuição infinita com \rho\propto1/r^{2} o potencial diverge lentamente, refletindo que a massa continua a crescer com r.

Passo 6

Respondo a (d): curva de rotação para o potencial logarítmico e significado físico de A.
  • Começar derivando \Phi(r)=A\ln\!\left(1+\dfrac{r}{r_{o}}\right). A derivada é \frac{d\Phi}{dr}=A\cdot\frac{1}{1+\dfrac{r}{r_{o}}}\cdot\frac{1}{r_{o}}=\frac{A}{r+r_{o}}.(Aqui foi usada a regra da cadeia: derivada de \ln(1+x) é 1/(1+x), com x=r/r_{o}.)
  • A relação entre velocidade circular e potencial é v_{c}^{2}=r\,\dfrac{d\Phi}{dr}. Substituindo: v_{c}^{2}(r)=r\cdot\frac{A}{r+r_{o}}=\frac{A\,r}{r+r_{o}}.
  • Portanto a curva de rotação é v_{c}(r)=\sqrt{\frac{A\,r}{r+r_{o}}}.
  • Significado físico de A:
    • Tomando o limite r\to\infty, \lim_{r\to\infty}v_{c}^{2}(r)=\lim_{r\to\infty}\frac{A\,r}{r+r_{o}}=A.
    • Logo A é o valor assintótico de v_{c}^{2}. Em outras palavras, \sqrt{A} é a velocidade circular limite para grandes raios (unidade: velocidade), e A tem unidade de (\text{velocidade})^{2}. Portanto A define a amplitude da velocidade de rotação em grandes distâncias.

Passo 7

Respondo a (e): massa total do halo logarítmico dentro de raio r.
  • Partindo de \dfrac{d\Phi}{dr}=\dfrac{G\,M(r)}{r^{2}} (ver Passo 5), isolamos M(r): M(r)=\frac{r^{2}}{G}\,\frac{d\Phi}{dr}.
  • Usando aqui \dfrac{d\Phi}{dr}=\dfrac{A}{r+r_{o}}: M(r)=\frac{r^{2}}{G}\cdot\frac{A}{r+r_{o}}=\frac{A}{G}\,\frac{r^{2}}{r+r_{o}}.
  • Nota: para r\gg r_{o} este resultado tende a M(r)\approx \dfrac{A}{G}\,r, que coincide com o caso de velocidade assintótica constante V^{2}=A (veja Passo 3).

Resposta

(a) M(r)=\dfrac{V^{2}}{G}\,r
(b) \displaystyle \rho(r)=\frac{V^{2}}{4\pi G}\,\frac{1}{r^{2}}
(c) \displaystyle \Phi(r)=\Phi_{o}+V^{2}\ln\!\left(\frac{r}{r_{o}}\right)
(d) \displaystyle v_{c}(r)=\sqrt{\frac{A\,r}{r+r_{o}}}. O parâmetro A é o valor assintótico de v_{c}^{2} ( A=\lim_{r\to\infty}v_{c}^{2}), logo \sqrt{A} é a velocidade circular limite para grandes r.
(e) \displaystyle M(r)=\frac{A}{G}\,\frac{r^{2}}{r+r_{o}}

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