O problema da matéria escura em galáxias espirais. Na década de 1970 diversos pesquisadores se dedicaram à observação e medida das curvas de rotação de galáxias espirais, isto é, à determinação da velocidade
das estrelas em órbitas circulares ao redor do centro de discos galácticos. É sabido que
não depende do ângulo azimutal
. Se
é o raio do disco estelar, espera-se pela lei da gravitação universal que
para
. O hidrogênio neutro, que faz parte do gás presente no disco galáctico, que se estende para raios muito maiores que o do disco estelar mas tem uma contribuição muito baixa para seu campo gravitacional. Pela observação do do desvio das linhas espectrais do hidrogênio neutro é possível obter a curva de rotação do gás para
.
Inesperadamente, medidas de
na região
nos dão uma curva de rotação aproximadamente plana, como na figura abaixo, em desacordo com as previsões da gravitação newtoniana. A explicação mais aceita atualmente pela comunidade científica para essa discrepância é a existência de um halo esférico de matéria escura, matéria não-bariônica que interage apenas gravitacionalmente com a matéria visível (por não interagir eletromagneticamente, não emite luz, não sendo possível detectá-la utilizando telescópios).
,max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/3ba60ea5-fb52-4c3c-af04-f4aaaac82829-1.jpg?height=314&width=458&top_left_y=1608&top_left_x=799}
\captionsetup{labelformat=empty}Figure 1: Figure 1: A - predição da gravitação newtoniana; B - curva de rotação observada
a) Considere um modelo em que a única componente relevante para o campo gravitacional do sistema seja o halo esférico de matéria escura. Suponha que a curva de rotação seja totalmente plana, isto é,
constante para todo
. Calcule a massa do halo contida em uma esfera de raio
.
b) Calcule a densidade volumétrica de matéria escura
do halo, sabendo que
quando
.
c) Calcule o potencial gravitacional
associado a
, supondo que
.
d) As curvas de rotação, na realidade, não são constantes (como pode ser visto na figura acima). Um modelo proposto na literatura na década de 1980, o halo logarítmico de Binney, tem o potencial gravitacional dado por
onde
e
são constantes. Calcule a curva de rotação associada a esse potencial
e dê o significado físico da constante
.
e) Calcule a massa total do halo logarítmico de Binney dentro de uma esfera de raio
.
\captionsetup{labelformat=empty}
Figure 1: Figure 1: A - predição da gravitação newtoniana; B - curva de rotação observada
b) Calcule a densidade volumétrica de matéria escura
c) Calcule o potencial gravitacional
d) As curvas de rotação, na realidade, não são constantes (como pode ser visto na figura acima). Um modelo proposto na literatura na década de 1980, o halo logarítmico de Binney, tem o potencial gravitacional dado por
e) Calcule a massa total do halo logarítmico de Binney dentro de uma esfera de raio
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas listadas abaixo.
-
Dados relevantes:
- A curva de rotação azimutal é independente de
e só depende de . - Em boa aproximação, no modelo pedido, a velocidade circular é constante para todo
: (constante). - Para o halo logarítmico de Binney é dado o potencial
, com e constantes.
- A curva de rotação azimutal é independente de
-
O que o enunciado pede:
(a) Calcular a massa do halo contida numa esfera de raio, supondo constante.
(b) Calcular a densidade volumétricado halo (com quando ).
(c) Calcular o potencialassociado a , supondo .
(d) Para: calcular e interpretar fisicamente .
(e) Calcular a massa total do halo de Binney dentro de uma esfera de raio.
Passo 2
Entender a relação básica entre velocidade circular e massa interna.
- Para uma órbita circular de raio
a aceleração centrípeta tem módulo . - A atração gravitacional, para uma distribuição esférica, é determinada apenas pela massa interior
(teorema da casca esférica): a aceleração gravitacional dirigida para o centro tem módulo . - Igualando centrípeta e gravidade (módulos):
Esta é a fórmula fundamental que relaciona e .
Passo 3
Respondo a (a): massa interior
quando
é constante.
- Partindo de
e substituindo : - Isolando
: - Interpretação rápida: massa cresce linearmente com
. Isso explica por que, se é constante, a massa interior deve aumentar indefinidamente com o raio.
Passo 4
Respondo a (b): densidade volumétrica
.
- A massa interior também é dada pela integral da densidade esférica:
- Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra fundamental do cálculo para integrais dependentes do limite superior): - Mas de (a)
. Igualando: - Logo,
- Observação sobre o comportamento quando
: , conforme pedido.
Passo 5
Respondo a (c): potencial
associado a
com condição
.
- Relação entre potencial e aceleração radial: a aceleração gravitacional radial é
e, por definição, . Portanto - Outra forma útil (usada para órbitas circulares) é a relação direta
que vem de multiplicar a igualdade anterior por e usar . - Para
constante obtemos - Integrando com a condição
: - Observação: esse potencial cresce logaritmicamente com
; para uma distribuição infinita com o potencial diverge lentamente, refletindo que a massa continua a crescer com .
Passo 6
Respondo a (d): curva de rotação para o potencial logarítmico e significado físico de
.
- Começar derivando
. A derivada é (Aqui foi usada a regra da cadeia: derivada de é , com .) - A relação entre velocidade circular e potencial é
. Substituindo: - Portanto a curva de rotação é
- Significado físico de
: - Tomando o limite
, - Logo
é o valor assintótico de . Em outras palavras, é a velocidade circular limite para grandes raios (unidade: velocidade), e tem unidade de . Portanto define a amplitude da velocidade de rotação em grandes distâncias.
- Tomando o limite
Passo 7
Respondo a (e): massa total do halo logarítmico dentro de raio
.
- Partindo de
(ver Passo 5), isolamos : - Usando aqui
: - Nota: para
este resultado tende a , que coincide com o caso de velocidade assintótica constante (veja Passo 3).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) . O parâmetro
é o valor assintótico de
(
), logo
é a velocidade circular limite para grandes
.
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)