Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
Se soubermos que em um determinado ponto P do espaço o potencial vale V_{0}=10 \mathrm{~V}, podemos afirmar que certamente o campo elétrico neste mesmo ponto P é \vec{E}=\overrightarrow{0}, pois \vec{E}=-\nabla V.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte afirmação para julgamento:
  • Informação dada: em um ponto P do espaço o potencial elétrico vale V_{0}=10\\ \mathrm{V}.
  • Afirmativa a julgar: podemos afirmar que certamente o campo elétrico em P é \vec{E}=\overrightarrow{0}, porque \vec{E}=-\nabla V.
A tarefa: decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e, se for falsa, dar uma justificativa ou um contraexemplo.

Passo 2

Explicação do que diz a fórmula \vec{E}=-\nabla V. Aqui está o significado preciso:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right),
ou seja, \nabla V é o vetor formado pelas derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas. Portanto,
\vec{E} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Interpretação física: o campo elétrico em um ponto depende de como o potencial varia nas direções ao redor desse ponto (as derivadas), não depende apenas do valor numérico do potencial naquele ponto.

Passo 3

Por que conhecer apenas o valor numérico V(P)=10\\ \mathrm{V} não é suficiente para determinar \nabla V(P).
  • A derivada (ou gradiente) é informação sobre a variação local do campo escalar; saber só o valor em um ponto é análogo a saber só a altura de um ponto numa montanha mas não saber se ali é um platô, uma encosta subindo ou descendo.
  • Formalmente: muitas funções diferentes podem assumir o mesmo valor em um ponto e ter derivadas diferentes ali. Logo o valor V(P) não fixa \nabla V(P).

Passo 4

Contraexemplo explícito e simples (mostra que a afirmativa é falsa).
Considere duas funções potenciais diferenciáveis no espaço:
  1. Potencial constante
V_1(x,y,z)=10\\ \mathrm{V}.
Para esta função, \nabla V_1=(0,0,0) em todo ponto, logo
\vec{E}_1 = -\nabla V_1 = (0,0,0)\\ \mathrm{V/m}.
Em particular, em P tem-se V_1(P)=10\\ \mathrm{V} e \vec{E}_1(P)=\overrightarrow{0}.
  1. Potencial linear na direção x
V_2(x,y,z)=10 + 5x\quad(\text{com }x\text{ medido em metros}).
Neste caso, no ponto P escolhido como a origem (x,y,z)=(0,0,0) tem-se também V_2(P)=10\\ \mathrm{V}. Mas as derivadas são
\frac{\partial V_2}{\partial x}=5,\qquad \frac{\partial V_2}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial V_2}{\partial z}=0,
portanto
\nabla V_2 = (5,0,0)\quad\Rightarrow\quad \vec{E}_2 = -\nabla V_2 = (-5,0,0)\\ \mathrm{V/m}.
Conclusão do contraexemplo: em P ambas as funções dão V(P)=10\\ \mathrm{V}, mas seus campos são diferentes: para V_1 o campo é nulo e para V_2 o campo é (-5,0,0)\\ \mathrm{V/m}. Logo não se pode afirmar que \vec{E}(P)=\overrightarrow{0} apenas conhecendo V(P)=10\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Observações úteis para a prova e intuição:
  • Para saber \vec{E}(P) é necessário conhecer as derivadas parciais do potencial em P, isto é, como V varia nas proximidades de P, não só o valor pontual.
  • Em que situação saber V(P) implica \vec{E}(P)=\overrightarrow{0}? Se houver informação extra dizendo que V tem um extremo local em P (máximo ou mínimo) e V é diferenciável, então \nabla V(P)=0 e o campo é nulo em P. Mas o simples número 10\\ \mathrm{V} não dá essa informação.
  • Outra observação: adicionar uma constante ao potencial não altera \vec{E}. Assim, muitos potenciais diferentes (diferindo por constantes) produzem o mesmo campo. Porém, aqui o problema é o contrário: muitos potenciais com o mesmo valor em P podem gerar campos diferentes.

Resposta

Falso.

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