Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
Se soubermos que em um determinado ponto
do espaço o potencial vale
, podemos afirmar que certamente o campo elétrico neste mesmo ponto
é
, pois
.
Se soubermos que em um determinado ponto
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e faz a seguinte afirmação para julgamento:
- Informação dada: em um ponto
do espaço o potencial elétrico vale . - Afirmativa a julgar: podemos afirmar que certamente o campo elétrico em
é , porque .
A tarefa: decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa e, se for falsa, dar uma justificativa ou um contraexemplo.
Passo 2
Explicação do que diz a fórmula
. Aqui está o significado preciso:
ou seja,
é o vetor formado pelas derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas. Portanto,
Interpretação física: o campo elétrico em um ponto depende de como o potencial varia nas direções ao redor desse ponto (as derivadas), não depende apenas do valor numérico do potencial naquele ponto.
Passo 3
Por que conhecer apenas o valor numérico
não é suficiente para determinar
.
- A derivada (ou gradiente) é informação sobre a variação local do campo escalar; saber só o valor em um ponto é análogo a saber só a altura de um ponto numa montanha mas não saber se ali é um platô, uma encosta subindo ou descendo.
- Formalmente: muitas funções diferentes podem assumir o mesmo valor em um ponto e ter derivadas diferentes ali. Logo o valor
não fixa .
Passo 4
Contraexemplo explícito e simples (mostra que a afirmativa é falsa).
Considere duas funções potenciais diferenciáveis no espaço:
- Potencial constante
Para esta função,
em todo ponto, logo
Em particular, em
tem-se
e
.
- Potencial linear na direção
Neste caso, no ponto
escolhido como a origem
tem-se também
. Mas as derivadas são
portanto
Conclusão do contraexemplo: em
ambas as funções dão
, mas seus campos são diferentes: para
o campo é nulo e para
o campo é
. Logo não se pode afirmar que
apenas conhecendo
.
Passo 5
Observações úteis para a prova e intuição:
- Para saber
é necessário conhecer as derivadas parciais do potencial em , isto é, como varia nas proximidades de , não só o valor pontual. - Em que situação saber
implica ? Se houver informação extra dizendo que tem um extremo local em (máximo ou mínimo) e é diferenciável, então e o campo é nulo em . Mas o simples número não dá essa informação. - Outra observação: adicionar uma constante ao potencial não altera
. Assim, muitos potenciais diferentes (diferindo por constantes) produzem o mesmo campo. Porém, aqui o problema é o contrário: muitos potenciais com o mesmo valor em podem gerar campos diferentes.
Resposta
Falso.