Problema 1 ( \mathbf{2 , 5} pt) Cargas q, 2 q e 3 q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L. Uma carga Q, de mesmo sinal que as outras três, é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q em módulo, direção e sentido.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou nomear os vértices para organizar):
Três cargas puntiformes são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L: no vértice A está a carga q, no vértice B está a carga 2q e no vértice C está a carga 3q.
Uma carga Q (do mesmo sinal que as outras três) está colocada no centro do triângulo (no ponto médio dos três vértices).
O enunciado pede: a força resultante sobre Q em módulo, direção e sentido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Distância entre vértices adjacentes: L.
As cargas nos vértices são q, 2q e 3q.
A carga central é Q.
Todas as cargas têm mesmo sinal (portanto as forças serão de repulsão entre cada vértice e Q).
Passo 2
Relembrando a lei fundamental que iremos usar (explicação didática): a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela lei de Coulomb na forma vetorial. Para duas cargas Q (no ponto onde queremos a força) e q_i (no vértice i), separadas por uma distância r, a magnitude da força é
F_i = k\,\frac{|Q\,q_i|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática (k = 1/(4\pi\varepsilon_0)). A direção é ao longo da reta que une as cargas; se os sinais são iguais, a força é de repulsão (cada carga empurra a outra para longe). Em forma vetorial, se a carga q_i está na posição \vec r_i e Q está na origem \vec 0, o vetor unitário de \vec r_i é \hat r_i=\vec r_i/|\vec r_i| e a força sobre Q devida a q_i é
onde \hat u_{Q\leftarrow i} é o vetor unitário apontando de q_i para Q. Como Q está na origem e q_i em \vec r_i, temos \hat u_{Q\leftarrow i} = -\hat r_i. Logo, com R=|\vec r_i|,
\vec F_i = -k\frac{Q q_i}{R^2}\,\hat r_i.
Observação prática: todos os vértices estão à mesma distância R do centro, então R será o mesmo para as três forças.
Passo 3
Determinar a distância do centro (baricentro/centro) do triângulo equilátero até cada vértice (a distância R). Explicando geometricamente (para você saber usar isso em prova):
Num triângulo equilátero de lado L, a altura vale
h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,L.
O centro (baricentro) fica a 1/3 da altura a partir da base, medindo desde a base; a distância do centro até um vértice é 2/3 da altura. Portanto
R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,L = \frac{L}{\sqrt{3}}.
Resumo: a distância do centro até qualquer vértice é \displaystyle R=\frac{L}{\sqrt{3}}.
Passo 4
Escolha de sistema de coordenadas (estratégia prática): coloque o centro do triângulo na origem (0,0). Para facilitar contas com ângulos, posicione os vértices em ângulos simetricamente: escolho os vetores unitários que apontam dos centros para os vértices com ângulos
Determinar a direção e o sentido (vetor unitário). Podemos normalizar \vec F usando \sum q_i\hat r_i. Note que \vec F é proporcional a -\sum q_i\hat r_i; então a direção unitária de \vec F é
Esse vetor unitário corresponde a um ângulo de 120^\circ medido a partir do eixo x positivo (ou seja, direção para o segundo quadrante). O sentido: aponta do centro para a direção dada por \hat F (ou seja, para cima e à esquerda, formando 120^\circ com o eixo x positivo).
Resposta
\displaystyle |\vec F|=\frac{3\sqrt{3}\,k\,Q\,q}{L^{2}}
Direção: forma um ângulo de 120^\circ com o eixo x positivo (vetor unitário \displaystyle \hat F=\big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)).
Sentido: aponta do centro do triângulo na direção \big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) (para cima e à esquerda).