Problema 1 ( \mathbf{2 , 5} pt) Cargas q, 2 q e 3 q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L. Uma carga Q, de mesmo sinal que as outras três, é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força resultante sobre Q em módulo, direção e sentido.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou nomear os vértices para organizar):
  • Três cargas puntiformes são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L: no vértice A está a carga q, no vértice B está a carga 2q e no vértice C está a carga 3q.
  • Uma carga Q (do mesmo sinal que as outras três) está colocada no centro do triângulo (no ponto médio dos três vértices).
  • O enunciado pede: a força resultante sobre Q em módulo, direção e sentido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Distância entre vértices adjacentes: L.
  • As cargas nos vértices são q, 2q e 3q.
  • A carga central é Q.
  • Todas as cargas têm mesmo sinal (portanto as forças serão de repulsão entre cada vértice e Q).

Passo 2

Relembrando a lei fundamental que iremos usar (explicação didática): a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela lei de Coulomb na forma vetorial. Para duas cargas Q (no ponto onde queremos a força) e q_i (no vértice i), separadas por uma distância r, a magnitude da força é
F_i = k\,\frac{|Q\,q_i|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática ( k = 1/(4\pi\varepsilon_0)). A direção é ao longo da reta que une as cargas; se os sinais são iguais, a força é de repulsão (cada carga empurra a outra para longe). Em forma vetorial, se a carga q_i está na posição \vec r_i e Q está na origem \vec 0, o vetor unitário de \vec r_i é \hat r_i=\vec r_i/|\vec r_i| e a força sobre Q devida a q_i é
\vec F_i = k\frac{Q q_i}{|\vec r_i|^2}\,\hat u_{Q\leftarrow i},
onde \hat u_{Q\leftarrow i} é o vetor unitário apontando de q_i para Q. Como Q está na origem e q_i em \vec r_i, temos \hat u_{Q\leftarrow i} = -\hat r_i. Logo, com R=|\vec r_i|,
\vec F_i = -k\frac{Q q_i}{R^2}\,\hat r_i.
Observação prática: todos os vértices estão à mesma distância R do centro, então R será o mesmo para as três forças.

Passo 3

Determinar a distância do centro (baricentro/centro) do triângulo equilátero até cada vértice (a distância R). Explicando geometricamente (para você saber usar isso em prova):
Num triângulo equilátero de lado L, a altura vale
h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,L.
O centro (baricentro) fica a 1/3 da altura a partir da base, medindo desde a base; a distância do centro até um vértice é 2/3 da altura. Portanto
R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,L = \frac{L}{\sqrt{3}}.
Resumo: a distância do centro até qualquer vértice é \displaystyle R=\frac{L}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Escolha de sistema de coordenadas (estratégia prática): coloque o centro do triângulo na origem (0,0). Para facilitar contas com ângulos, posicione os vértices em ângulos simetricamente: escolho os vetores unitários que apontam dos centros para os vértices com ângulos
\theta_1 = 90^\circ = \frac{\pi}{2},\qquad \theta_2 = 210^\circ = \pi+\frac{\pi}{6},\qquad \theta_3 = 330^\circ = 2\pi-\frac{\pi}{6}.
Assim os vetores posição (do centro para cada vértice) são
\vec r_i = R(\cos\theta_i,\sin\theta_i).
Vou associar A ao \theta_1 (carga q), B ao \theta_2 (carga 2q) e C ao \theta_3 (carga 3q).

Passo 5

Calcular os vetores unitários \hat r_i (do centro para cada vértice) e os vetores q_i\hat r_i que vamos somar (passo a passo, sem pular etapas):
Para \theta_1=\frac{\pi}{2} (vértice A, carga q):
\hat r_1=(\cos\tfrac{\pi}{2},\sin\tfrac{\pi}{2})=(0,1).
Multiplicando por q:
q\,\hat r_1 = \big(0,\;q\big).
Para \theta_2=\frac{7\pi}{6} (210°, vértice B, carga 2q):
\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 210^\circ = -\frac{1}{2},
então
\hat r_2=\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2},\; -\frac{1}{2}\Big), \quad 2q\,\hat r_2 = \Big(-q\sqrt{3},\; -q\Big).
Para \theta_3=\frac{11\pi}{6} (330°, vértice C, carga 3q):
\cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 330^\circ = -\frac{1}{2},
então
\hat r_3=\Big(\frac{\sqrt{3}}{2},\; -\frac{1}{2}\Big), \quad 3q\,\hat r_3 = \Big(\frac{3\sqrt{3}}{2}q,\; -\frac{3}{2}q\Big).

Passo 6

Somar os vetores ponderados \sum q_i\hat r_i (esta soma aparece na expressão da força resultante, veja a fórmula no Passo 2):
Componentes em x:
S_x = 0 +(-q\sqrt{3}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}q = q\sqrt{3}\Big(-1 + \frac{3}{2}\Big) = \frac{q\sqrt{3}}{2}.
Componentes em y:
S_y = q +(-q) +\Big(-\frac{3}{2}q\Big) = -\frac{3}{2}q.
Logo
\sum q_i\hat r_i = \Big(\frac{q\sqrt{3}}{2},\; -\frac{3q}{2}\Big).

Passo 7

Usar a expressão vetorial da força resultante obtida no Passo 2. Como todas as distâncias são iguais a R, a força total sobre Q é
\vec F = -k\frac{Q}{R^2}\sum q_i\hat r_i = -k\frac{Q}{R^2}\Big(\frac{q\sqrt{3}}{2},\; -\frac{3q}{2}\Big).
Multiplicando o sinal negativo:
\vec F = \Big(-k\frac{Q q\sqrt{3}}{2R^2},\; +k\frac{3Q q}{2R^2}\Big).

Passo 8

Calcular o módulo |\vec F|. Primeiro calcule o módulo do vetor \sum q_i\hat r_i:
\left|\sum q_i\hat r_i\right| = q\sqrt{\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2+\Big(-\frac{3}{2}\Big)^2} = q\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}} = q\sqrt{\frac{12}{4}} = q\sqrt{3}.
Portanto o módulo da força total é
|\vec F| = k\frac{Q}{R^2}\left|\sum q_i\hat r_i\right| = k\frac{Q}{R^2}\,q\sqrt{3}.
Substituindo R=\dfrac{L}{\sqrt{3}} (do Passo 3), temos R^2=\dfrac{L^2}{3}. Assim
|\vec F| = k\,Qq\sqrt{3}\,\frac{3}{L^2} = \frac{3\sqrt{3}\,k\,Q\,q}{L^2}.

Passo 9

Determinar a direção e o sentido (vetor unitário). Podemos normalizar \vec F usando \sum q_i\hat r_i. Note que \vec F é proporcional a -\sum q_i\hat r_i; então a direção unitária de \vec F é
\hat F = -\frac{\sum q_i\hat r_i}{\left|\sum q_i\hat r_i\right|} = -\frac{\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\; -\tfrac{3}{2}\big)}{\sqrt{3}} = \Big(-\tfrac{1}{2},\; \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).
Esse vetor unitário corresponde a um ângulo de 120^\circ medido a partir do eixo x positivo (ou seja, direção para o segundo quadrante). O sentido: aponta do centro para a direção dada por \hat F (ou seja, para cima e à esquerda, formando 120^\circ com o eixo x positivo).

Resposta

\displaystyle |\vec F|=\frac{3\sqrt{3}\,k\,Q\,q}{L^{2}}
Direção: forma um ângulo de 120^\circ com o eixo x positivo (vetor unitário \displaystyle \hat F=\big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)).
Sentido: aponta do centro do triângulo na direção \big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) (para cima e à esquerda).

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