Problema de Mistura num Tanque: Um tanque contém 100 litros de solução (água e sal). Entra uma solução com concentração constante de ( 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} ) à vazão de ( 5 \mathrm{~L} / \mathrm{min} ). A mistura é mantida homogênea e sai pela mesma vazão de ( 5 \mathrm{~L} / \mathrm{min} ), de modo que o volume permanece constante. No instante inicial, a quantidade de sal no tanque é: Q(0)=100\left(1-0.05 e^{1.5}\right) \mathrm{kg}.
(a) Modele uma equação diferencial para a quantidade de sal Q(t) em quilogramas no tanque ao longo do tempo. (R.: \frac{d Q}{d t}=5-\frac{Q}{20} )
(b) Resolva a EDO com a condição inicial dada e determine a expressão da concentração (C(t)= \left.\frac{Q(t)}{100}\right) \cdot\left(\mathrm{R} .: Q(t)=100-k e^{-t / 20}\right., onde k é determinada por Q(0) )
(c) Verifique que a concentração atinge 95 \% do valor limite exatamente em t=30 minutos.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, devagarinho e sem pânico.
Dados fornecidos (copiei do enunciado):
  • Volume do tanque é constante: 100 litros.
  • A vazão de entrada é 5\\ \mathrm{L/min}.
  • A vazão de saída é 5\\ \mathrm{L/min} (portanto o volume permanece constante).
  • A concentração da solução que entra é 1\\ \mathrm{kg/L}.
  • A quantidade de sal no instante inicial é
Q(0)=100\left(1-0.05 e^{1.5}\right)\\ \mathrm{kg}.
Perguntas pedidas:
(a) Modelar a equação diferencial para Q(t) (kg) — isto é, escrever \dfrac{dQ}{dt}=\dots.
(b) Resolver a EDO com a condição inicial dada e obter a expressão da concentração C(t)=\dfrac{Q(t)}{100}. (Dica do enunciado: a solução tem forma Q(t)=100-k e^{-t/20} e precisamos determinar k.)
(c) Verificar que a concentração atinge 95\% do valor limite exatamente em t=30 minutos.

Passo 2

Modelagem física e montagem da equação diferencial (a).
Explicação do raciocínio físico (passo a passo):
  • Definimos Q(t) como a quantidade de sal no tanque em quilogramas no instante t (com t em minutos).
  • Taxa de entrada de sal (kg/min): a concentração da entrada é 1\\ \mathrm{kg/L} e a vazão é 5\\ \mathrm{L/min}. Logo a taxa de entrada é
\text{entrada} = 1\cdot 5 = 5\\ \mathrm{kg/min}.
  • Taxa de saída de sal (kg/min): a mistura é homogênea, então a concentração dentro do tanque é \dfrac{Q(t)}{100} (em kg por L). A vazão de saída é 5\\ \mathrm{L/min}. Então a taxa de saída é
\text{saída} = \frac{Q(t)}{100}\cdot 5 = \frac{Q(t)}{20}\\ \mathrm{kg/min}.í
  • A variação da quantidade de sal é entrada menos saída. Portanto a equação diferencial é
\frac{dQ}{dt}=5-\frac{Q}{20}.
Isto responde (a).

Passo 3

Resolver a EDO linear de primeira ordem usando fator integrante (instrução didática sobre o método).
Forma padrão: uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dQ}{dt}+p(t)Q=g(t).
Aqui p(t)=\dfrac{1}{20} (constante) e g(t)=5. O método do fator integrante diz:
  • Calcule o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\int \frac{1}{20}\,dt}=e^{t/20}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t) torna o lado esquerdo derivada de \mu(t)Q(t):
e^{t/20}\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{20}e^{t/20}Q = 5e^{t/20} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(Qe^{t/20}\bigr)=5e^{t/20}.
  • Integrando ambos os lados em t:
Qe^{t/20}=\int 5e^{t/20}\,dt = 5\cdot 20\,e^{t/20} + C = 100e^{t/20}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Isolando Q(t):
Q(t)=100 + C e^{-t/20}.
Observação: podemos também escrever isso como
Q(t)=100 - k e^{-t/20},
onde k=-C. Essa é exatamente a forma sugerida no enunciado.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar a constante (passo a passo).
A condição dada é
Q(0)=100\left(1-0.05 e^{1.5}\right)=100 - 5e^{1.5}.
Usando a solução geral Q(t)=100 + C e^{-t/20} e substituindo t=0:
Q(0)=100 + C = 100 - 5e^{1.5}.
Logo
C = -5e^{1.5}.
Se preferirmos a forma Q(t)=100 - k e^{-t/20}, então
k = 100 - Q(0) = 5e^{1.5}.
Portanto a solução particular fica
Q(t)=100 - 5e^{1.5} e^{-t/20} = 100 - 5e^{\,1.5 - t/20}.
Agora a concentração (em \mathrm{kg/L}) é
C(t)=\frac{Q(t)}{100}=1 - 0{,}05\,e^{\,1.5 - t/20}.
(Expliquei a conversão de 5/100=0{,}05 para ficar mais claro; a vírgula decimal segue o formato pedido.)

Passo 5

Verificação de que a concentração atinge 95\% do valor limite em t=30 min (passo a passo, parte (c)).
Primeiro identifique o valor limite (quando t\to\infty). Pela solução,
\lim_{t\to\infty}Q(t)=100,
logo a concentração limite é
\lim_{t\to\infty}C(t)=\frac{100}{100}=1\\ \mathrm{kg/L}.
Noventa e cinco por cento desse limite é 0{,}95\\ \mathrm{kg/L}. Vamos resolver C(t)=0{,}95:
1 - 0{,}05\,e^{\,1.5 - t/20}=0{,}95.
Passos para isolar t:
0{,}05\,e^{\,1.5 - t/20}=0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad e^{\,1.5 - t/20}=1.
Como e^x=1 implica x=0, temos
1{,}5 - \frac{t}{20}=0 \quad\Longrightarrow\quad t=20\cdot 1{,}5 = 30\\ \text{minutos}.
Portanto, a concentração atinge exatamente 95\% do valor limite em t=30 minutos, como pedido.

Resposta

(a) \dfrac{dQ}{dt}=5-\dfrac{Q}{20}.
(b) \displaystyle Q(t)=100-5e^{1.5}e^{-t/20} e \displaystyle C(t)=\frac{Q(t)}{100}=1-0{,}05\,e^{1.5-t/20}.
(c) A concentração atinge 95\% do valor limite em t=30 minutos.

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