Problema de Mistura num Tanque: Um tanque contém 100 litros de solução (água e sal). Entra uma solução com concentração constante de (
) à vazão de (
). A mistura é mantida homogênea e sai pela mesma vazão de (
), de modo que o volume permanece constante. No instante inicial, a quantidade de sal no tanque é:
.
(a) Modele uma equação diferencial para a quantidade de sal
em quilogramas no tanque ao longo do tempo. (R.:
)
(b) Resolva a EDO com a condição inicial dada e determine a expressão da concentração
, onde
é determinada por
)
(c) Verifique que a concentração atinge
do valor limite exatamente em
minutos.
(a) Modele uma equação diferencial para a quantidade de sal
(b) Resolva a EDO com a condição inicial dada e determine a expressão da concentração
(c) Verifique que a concentração atinge
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, devagarinho e sem pânico.
Dados fornecidos (copiei do enunciado):
- Volume do tanque é constante:
litros. - A vazão de entrada é
. - A vazão de saída é
(portanto o volume permanece constante). - A concentração da solução que entra é
. - A quantidade de sal no instante inicial é
Perguntas pedidas:
(a) Modelar a equação diferencial para (kg) — isto é, escrever
.
(b) Resolver a EDO com a condição inicial dada e obter a expressão da concentração . (Dica do enunciado: a solução tem forma
e precisamos determinar
.)
(c) Verificar que a concentração atinge do valor limite exatamente em
minutos.
(a) Modelar a equação diferencial para
(b) Resolver a EDO com a condição inicial dada e obter a expressão da concentração
(c) Verificar que a concentração atinge
Passo 2
Modelagem física e montagem da equação diferencial (a).
Explicação do raciocínio físico (passo a passo):
- Definimos
como a quantidade de sal no tanque em quilogramas no instante (com em minutos). - Taxa de entrada de sal (kg/min): a concentração da entrada é
e a vazão é . Logo a taxa de entrada é
- Taxa de saída de sal (kg/min): a mistura é homogênea, então a concentração dentro do tanque é
(em kg por L). A vazão de saída é . Então a taxa de saída é
- A variação da quantidade de sal é entrada menos saída. Portanto a equação diferencial é
Isto responde (a).
Passo 3
Resolver a EDO linear de primeira ordem usando fator integrante (instrução didática sobre o método).
Forma padrão: uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
Aqui
(constante) e
. O método do fator integrante diz:
- Calcule o fator integrante
. - Multiplicando a equação por
torna o lado esquerdo derivada de :
- Integrando ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
- Isolando
:
Observação: podemos também escrever isso como
onde
. Essa é exatamente a forma sugerida no enunciado.
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar a constante (passo a passo).
A condição dada é
Usando a solução geral
e substituindo
:
Logo
Se preferirmos a forma
, então
Portanto a solução particular fica
Agora a concentração (em
) é
(Expliquei a conversão de
para ficar mais claro; a vírgula decimal segue o formato pedido.)
Passo 5
Verificação de que a concentração atinge
do valor limite em
min (passo a passo, parte (c)).
Primeiro identifique o valor limite (quando
). Pela solução,
logo a concentração limite é
Noventa e cinco por cento desse limite é
. Vamos resolver
:
Passos para isolar
:
Como
implica
, temos
Portanto, a concentração atinge exatamente
do valor limite em
minutos, como pedido.
Resposta
(a)
(b) e
(c) A concentração atinge do valor limite em
minutos.
(b)
(c) A concentração atinge