Nos exercícios abaixo, resolva pa
|x-2|=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação |x-2|=4.\n
Informações dadas:\n
  • A incógnita é x (número real).
  • Temos a expressão |x-2| igual a 4.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos entender o que significa |\cdot|\) (valor absoluto) de forma simples e concreta. Para qualquer número real \(y\) vale: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Isto é, |y|\] dá a distância de \(y até 0 na reta numérica: fica sempre não negativo. Exemplos rápidos: |3|=3 e |-5|=5.]

Passo 3

Aplicamos essa definição ao caso y = x-2. Como a expressão dentro do módulo pode ser positiva ou negativa, dividimos em dois casos:
\text{caso A: } x-2 \ge 0 \qquad\text{e}\qquad \text{caso B: } x-2 < 0.
Cada caso dá uma equação sem módulo que podemos resolver.

Passo 4

Caso A: x-2 \ge 0 (ou seja, x \ge 2).
Então |x-2| = x-2. A equação vira
x-2 = 4.
Resolvendo: somamos 2 em ambos os lados,
x = 4+2,
logo
x = 6.
Verificamos a condição do caso: 6 \ge 2 está satisfeita, então x=6 é solução válida.

Passo 5

Caso B: x-2 < 0 (ou seja, x < 2).
Então |x-2| = -(x-2) = -x+2. A equação vira
-x+2 = 4.
Resolvendo: subtraímos 2 de ambos os lados,
-x = 2,
e multiplicamos por -1,
x = -2.
Verificamos a condição do caso: -2 < 2 está satisfeita, então x=-2 é solução válida.

Passo 6

Vamos checar as duas soluções substituindo na equação original para garantir que não houve erro:
\text{Para } x=6:\quad |6-2|=|4|=4 \quad\checkmark
\text{Para } x=-2:\quad |-2-2|=|-4|=4 \quad\checkmark
Ambas funcionam.

Passo 7

Interpretação rápida (atalho útil na prova): |x-2|=4 significa "a distância entre x e 2 é 4". Logo x está a 4 unidades de 2, ou seja x=2\pm4, que dá as mesmas soluções que achamos.

Resposta

x=6\n
x=-2

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