Resolva as inequações dos exercício
3 x^{2}-7 x+6<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \;3x^{2}-7x+6<0.\n
Informações dadas:
\;a=3, \;b=-7, \;c=6.\n
Pergunta explícita: encontrar todos os valores reais de \;x que satisfazem \;3x^{2}-7x+6<0.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicando por que): vou analisar o sinal do polinómio quadrático usando o discriminante e o coeficiente dominante. Vou explicar o que é o discriminante e o que ele nos diz.
Definição do discriminante: para uma quadrática \;ax^{2}+bx+c definimos
\Delta = b^{2}-4ac.
O que o discriminante nos diz:
  • Se \;\Delta>0, a equação quadrática tem duas raízes reais distintas (a parábola corta o eixo x em dois pontos).
  • Se \;\Delta=0, tem uma raiz real dupla (tangencia o eixo x).
  • Se \;\Delta<0, não tem raízes reais (a parábola não corta o eixo x).\n
    Também é importante o sinal de \;a:
  • Se \;a>0, a parábola “abre para cima” (tendo, se existir, um mínimo).
  • Se \;a<0, abre para baixo (tendo um máximo).\n
    Combinando essas informações: se \;\Delta<0 e \;a>0, a quadrática é sempre positiva para todo \;x\in\mathbb{R}; se \;\Delta<0 e \;a<0, é sempre negativa. Por isso este método é rápido e suficiente aqui.

Passo 3

Calcular o discriminante para \;3x^{2}-7x+6:
\Delta = b^{2}-4ac = (-7)^{2}-4\cdot 3 \cdot 6.
Agora as contas, passo a passo:
(-7)^{2}=49,
4\cdot 3 \cdot 6 = 12\cdot 6 = 72,
\Delta = 49-72 = -23.
Portanto \;\Delta=-23<0.

Passo 4

Interpretação do resultado: como \;\Delta<0 não existem raízes reais. Como \;a=3>0, a parábola abre para cima. Logo a função quadrática \;f(x)=3x^{2}-7x+6 não corta o eixo real e está sempre acima de zero para todo \;x\in\mathbb{R}.\n
Para reforçar (fórmula do valor mínimo): o valor mínimo da quadrática acontece no vértice e vale
f_{\min} = -\frac{\Delta}{4a}.
Substituindo:
f_{\min} = -\frac{-23}{4\cdot 3} = \frac{23}{12}>0.
Ou seja, o menor valor que \;f(x) atinge é \;\dfrac{23}{12}, que é positivo, confirmando que \;f(x)>0 para todo \;x.

Passo 5

Conclusão sobre a inequação: como \;f(x)=3x^{2}-7x+6>0 para todo \;x\in\mathbb{R}, não existe nenhum \;x real que torne \;f(x)<0. Portanto a inequação não tem solução no conjunto dos números reais. Força aí — é normal ficar nervoso, essa é uma conclusão simples quando \;\Delta<0 e \;a>0!

Resposta

\varnothing

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