Resolva as inequações dos exercício
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
.\n
Informações dadas:
,
,
.\n
Pergunta explícita: encontrar todos os valores reais de que satisfazem
.
Informações dadas:
Pergunta explícita: encontrar todos os valores reais de
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicando por que): vou analisar o sinal do polinómio quadrático usando o discriminante e o coeficiente dominante. Vou explicar o que é o discriminante e o que ele nos diz.
Definição do discriminante: para uma quadrática definimos
Definição do discriminante: para uma quadrática
O que o discriminante nos diz:
- Se
, a equação quadrática tem duas raízes reais distintas (a parábola corta o eixo em dois pontos). - Se
, tem uma raiz real dupla (tangencia o eixo ). - Se
, não tem raízes reais (a parábola não corta o eixo ).\n
Também é importante o sinal de: - Se
, a parábola “abre para cima” (tendo, se existir, um mínimo). - Se
, abre para baixo (tendo um máximo).\n
Combinando essas informações: see , a quadrática é sempre positiva para todo ; se e , é sempre negativa. Por isso este método é rápido e suficiente aqui.
Passo 3
Calcular o discriminante para
:
Agora as contas, passo a passo:
Portanto
.
Passo 4
Interpretação do resultado: como
não existem raízes reais. Como
, a parábola abre para cima. Logo a função quadrática
não corta o eixo real e está sempre acima de zero para todo
.\n
Para reforçar (fórmula do valor mínimo): o valor mínimo da quadrática acontece no vértice e vale
Para reforçar (fórmula do valor mínimo): o valor mínimo da quadrática acontece no vértice e vale
Substituindo:
Ou seja, o menor valor que
atinge é
, que é positivo, confirmando que
para todo
.
Passo 5
Conclusão sobre a inequação: como
para todo
, não existe nenhum
real que torne
. Portanto a inequação não tem solução no conjunto dos números reais. Força aí — é normal ficar nervoso, essa é uma conclusão simples quando
e
!