Problema 2.6. Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado perfeito, isto é, um número da forma a^2, onde a é um número natural,
só pode ser 0,1,4,5,6 ou 9 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em base 10, o algarismo das unidades de um quadrado perfeito a^2 só pode ser 0,1,4,5,6 ou 9. O conteúdo envolvido é a aritmética modular, mais precisamente cálculo de restos em módulo 10.

Passo 2

Escrevemos um número natural a em função do seu quociente e resto na divisão por 10:
a = 10q + r,
onde q é inteiro e o resto r satisfaz 0 <= r <= 9.
Elevando ao quadrado e observando módulo 10, temos
a^2 = (10q + r)^2 = 100q^2 + 20qr + r^2
e portanto, em módulo 10,
a^2 equiv r^2 pmod10
Isto significa que o algarismo das unidades de a^2 é exatamente o algarismo das unidades de r^2.

Passo 3

Basta listar r^2pmod10 para r=0,1,2,dots,9. Calculamos:
0^2 &equiv 0, 1^2 equiv 1, 2^2 equiv 4, 3^2 equiv 9, 4^2 &equiv 6, 5^2 equiv 5, 6^2 equiv 6, 7^2 equiv 9, 8^2 &equiv 4, 9^2 equiv 1 pmod10
Os resíduos distintos obtidos são 0,1,4,9,6,5.
Concluímos que o algarismo das unidades de qualquer quadrado perfeito em base 10 só pode ser um dos valores 0,1,4,5,6 ou 9.

Resposta

Os possíveis algarismos das unidades de um quadrado perfeito são 0,1,4,5,6 e 9.

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