Problema 2.6. Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado perfeito, isto é, um número da forma
, onde
é um número natural,
só pode ser
ou 9 .
só pode ser
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em base 10, o algarismo das unidades de um quadrado perfeito
só pode ser
ou
. O conteúdo envolvido é a aritmética modular, mais precisamente cálculo de restos em módulo 10.
Passo 2
Escrevemos um número natural
em função do seu quociente e resto na divisão por 10:
onde
é inteiro e o resto
satisfaz
.
Elevando ao quadrado e observando módulo 10, temos
Elevando ao quadrado e observando módulo 10, temos
e portanto, em módulo 10,
Isto significa que o algarismo das unidades de
é exatamente o algarismo das unidades de
.
Passo 3
Basta listar
para
. Calculamos:
Os resíduos distintos obtidos são
.
Concluímos que o algarismo das unidades de qualquer quadrado perfeito em base 10 só pode ser um dos valores ou
.
Concluímos que o algarismo das unidades de qualquer quadrado perfeito em base 10 só pode ser um dos valores
Resposta
Os possíveis algarismos das unidades de um quadrado perfeito são
e
.