Problema 2.3. Nos tempos de seus avós não existiam as calculadoras eletrônicas e por isso eram ensinadas várias regras de cálculo mental. Uma delas era a seguinte:
Seja a um número natural cujo algarismo da unidade é 5 , ou seja, a=10 q+5, com q um número natural. Mostre que a^2=100 q(q+1)+25. Com isto, ache uma regra para calcular mentalmente o quadrado de a. Aplique a sua regra para calcular os quadrados dos números; 15,25,35,45,55,65,75,85,95,105 e 205 .

Passo 1

O enunciado considera um número natural cujo algarismo das unidades é 5, ou seja, um número da forma
a = 10q + 5
com q natural. Pede-se para mostrar que
a^2 = 100,q(q+1) + 25
e, a partir daí, achar uma regra de cálculo mental para o quadrado de a e aplicá-la a vários exemplos.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado de a. Como a = 10q + 5, temos
a^2 = (10q + 5)^2 = (10q)^2 + 2cdot(10q)cdot5 + 5^2
Calculando termo a termo:
(10q)^2 = 100,q^2, 2cdot(10q)cdot5 = 100,q, 5^2 = 25
Somando,
a^2 = 100,q^2 + 100,q + 25 = 100,q,(q+1) + 25

Passo 3

Da fórmula ,a^2 = 100,q(q+1) + 25, a regra mental é simples:
1) Identifique q retirando o 5 final (por exemplo, para 85, q=8).
2) Calcule q(q+1).
3) Escreva esse produto seguido de dois zeros e some 25.
Em outras palavras, a^2 é “ q(q+1) com dois zeros” mais 25.

Passo 4

Aplicando para cada número:
Para 15: q=1, 1cdot2=2 to 15^2 = 100cdot2 + 25 = 225.
Para 25: q=2, 2cdot3=6 to 25^2 = 100cdot6 + 25 = 625.
Para 35: q=3, 3cdot4=12 to 35^2 = 100cdot12 + 25 = 1225.
Para 45: q=4, 4cdot5=20 to 45^2 = 100cdot20 + 25 = 2025.
Para 55: q=5, 5cdot6=30 to 55^2 = 100cdot30 + 25 = 3025.
Para 65: q=6, 6cdot7=42 to 65^2 = 100cdot42 + 25 = 4225.
Para 75: q=7, 7cdot8=56 to 75^2 = 100cdot56 + 25 = 5625.
Para 85: q=8, 8cdot9=72 to 85^2 = 100cdot72 + 25 = 7225.
Para 95: q=9, 9cdot10=90 to 95^2 = 100cdot90 + 25 = 9025.
Para 105: q=10, 10cdot11=110 to 105^2 = 100cdot110 + 25 = 11025.
Para 205: q=20, 20cdot21=420 to 205^2 = 100cdot420 + 25 = 42025.

Resposta

15^2=22525^2=62535^2=122545^2=202555^2=302565^2=422575^2=562585^2=722595^2=9025105^2=11025205^2=42025

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