Questão 4 (20 pontos)
Calcule lim x -infty(sen(x^4)x^4-1).

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -inftyl(senl(x^4r)x^4-1r)
O conteúdo principal aqui é reconhecer que senl(x^4r) é uma função limitada entre -1 e 1, enquanto x^4to+infty quando xto-infty. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que sen(x^4)x^4to0 e então concluir o resultado.

Passo 2

Como sabemos que para todo tinR vale
-1 <= sen(t) <= 1,
podemos substituir t = x^4 e obter
-1 <= senl(x^4r) <= 1

Passo 3

Dividindo toda essa desigualdade por x^4, que é positivo para xto-infty, temos
-1x^4 ;<=;senl(x^4r)x^4;<=;1x^4

Passo 4

Quando xto -infty, x^4to+infty, então
limxto -inftyl(-1x^4r)=0 e limxto -infty1x^4=0
Pelo Teorema do Confronto, segue que
limxto -inftysenl(x^4r)x^4 = 0

Passo 5

Voltando ao limite original, escrevemos
limxto -inftyl(sen(x^4)x^4 - 1r) = limxto -inftysen(x^4)x^4 ;-; limxto -infty1 = 0 - 1 = -1

Resposta

-1

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