Problema 1)
Mostre que o coeficiente de compressão isotérmica pode ser expresso como
Mostre que o coeficiente de compressão isotérmica pode ser expresso como
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma expressão para o coeficiente de compressão isotérmica. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que vou usar:
- Quer-se relacionar o coeficiente de compressão isotérmica
com a derivada da densidade em relação à pressão à temperatura constante. - Vou usar a definição usual de compressibilidade isotérmica e a relação entre densidade e volume (massa constante).
- Informação implícita que vou usar: a massa da amostra é constante ao variar a pressão e a temperatura (ou seja,
constante).
Passo 2
Definição do coeficiente de compressão isotérmica e significado físico das variáveis.
- A definição padrão é
onde
é o volume,
é a pressão e a derivada é tomada à temperatura
constante.
- Explicação do sinal negativo: tipicamente um aumento de pressão faz o volume diminuir, então
; o sinal negativo na definição garante que para materiais normais.
Passo 3
Relacionar volume com densidade. Definição de densidade e volume específico:
- A densidade é definida por
onde
é a massa da amostra (constante).
- É conveniente usar o volume específico
, definido por
Note que
. Vou trabalhar com
porque elimina a massa constante e simplifica derivadas.
Passo 4
Expressar
em termos do volume específico
.
- Como
e é constante, tem-se
- Substituindo na definição de
:
Passo 5
Relacionar a derivada de
com a derivada de
.
- Como
, aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a (mantendo constante):
- Explanação: derivada de
em relação a é ; aqui .
Passo 6
Substituir a expressão de
em
e simplificar.
- Substituindo em
obtemos
- Usando
(ou seja, ) simplificamos:
- Portanto chegamos a
Passo 7
Interpretação final e observação sobre o sinal.
- A expressão obtida é
- Observação física do sinal: normalmente
(aumentando a pressão, a densidade aumenta), então a expressão acima dá como esperado. A forma com sinal negativo
seria inconsistente com essa física (resultaria em
para materiais normais). Assim, a forma correta é a com sinal positivo mostrada acima.