Problema 1)
Mostre que o coeficiente de compressão isotérmica pode ser expresso como
\kappa=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma expressão para o coeficiente de compressão isotérmica. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que vou usar:
  • Quer-se relacionar o coeficiente de compressão isotérmica \kappa com a derivada da densidade em relação à pressão à temperatura constante.
  • Vou usar a definição usual de compressibilidade isotérmica e a relação entre densidade e volume (massa constante).
  • Informação implícita que vou usar: a massa da amostra é constante ao variar a pressão e a temperatura (ou seja, m= constante).

Passo 2

Definição do coeficiente de compressão isotérmica e significado físico das variáveis.
  • A definição padrão é
\kappa \equiv -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T},
onde V é o volume, P é a pressão e a derivada é tomada à temperatura T constante.
  • Explicação do sinal negativo: tipicamente um aumento de pressão faz o volume diminuir, então \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}<0; o sinal negativo na definição garante que \kappa>0 para materiais normais.

Passo 3

Relacionar volume com densidade. Definição de densidade e volume específico:
  • A densidade é definida por
\rho=\frac{m}{V},
onde m é a massa da amostra (constante).
  • É conveniente usar o volume específico v, definido por
v\equiv\frac{V}{m}.
Note que v=\dfrac{1}{\rho}. Vou trabalhar com v porque elimina a massa constante e simplifica derivadas.

Passo 4

Expressar \kappa em termos do volume específico v.
  • Como V=m v e m é constante, tem-se
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=m\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}.
  • Substituindo na definição de \kappa:
\kappa=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} =-\frac{1}{m v}\cdot m\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} =-\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}.

Passo 5

Relacionar a derivada de v com a derivada de \rho.
  • Como v=\dfrac{1}{\rho}=\rho^{-1}, aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a P (mantendo T constante):
\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} =\frac{\partial}{\partial P}\big(\rho^{-1}\big)_{T} =-\rho^{-2}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}.
  • Explanação: derivada de x^{-1} em relação a x é -x^{-2}; aqui x=\rho(P).

Passo 6

Substituir a expressão de \left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} em \kappa e simplificar.
  • Substituindo em \kappa=-\dfrac{1}{v}\left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} obtemos
\kappa =-\frac{1}{v}\left(-\rho^{-2}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}\right) =\frac{1}{v\,\rho^{2}}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}.
  • Usando v=1/\rho (ou seja, 1/v=\rho) simplificamos:
\frac{1}{v\,\rho^{2}}=\frac{1}{(1/\rho)\rho^{2}}=\frac{1}{\rho}.
  • Portanto chegamos a
\kappa=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}.

Passo 7

Interpretação final e observação sobre o sinal.
  • A expressão obtida é
\kappa=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}.
  • Observação física do sinal: normalmente \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}>0 (aumentando a pressão, a densidade aumenta), então a expressão acima dá \kappa>0 como esperado. A forma com sinal negativo
\kappa=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}
seria inconsistente com essa física (resultaria em \kappa<0 para materiais normais). Assim, a forma correta é a com sinal positivo mostrada acima.

Resposta

\kappa=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}

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