Determine a densidade de corrente
para
no espaço livre, considerando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado dá a função vetor potencial em coordenadas cilíndricas e pede a densidade de corrente no espaço livre. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Vetor potencial:
(unidades: ). - Trabalhar em coordenadas cilíndricas
. - Pedir: a densidade de corrente
correspondente, no espaço livre.
Passo 2
Plano para resolver (sem ainda calcular): em magnetostática no espaço livre vale a equação de Maxwell
e sabemos que o campo magnético é dado pelo rotor do potencial vetor:
Logo a estratégia é:
- calcular
; - calcular
; - obter
.
Passo 3
Fórmula do rotor em coordenadas cilíndricas (para um campo
):
Aqui
são as componentes escalares do campo nas direções unitárias
. Estas fórmulas serão usadas duas vezes (primeiro com
, depois com
).
Passo 4
Identificar as componentes de
e suas dependências:
Observação:
depende apenas de
(não depende de
nem de
).
Passo 5
Calcular
componente a componente:
- Componente
:
- Componente
:
Calculemos a derivada:
Portanto
- Componente
:
Logo
Passo 6
Agora aplicar
. Vamos calcular
sabendo
e que
depende apenas de
.
Passo 7
Calcular
componente a componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Calculemos o interior:
Derivando,
Dividindo por
,
Portanto
Passo 8
Usando
temos
Observações finais curtinhas (úteis para a prova):
- O resultado vale para
. Há uma singularidade na origem ( ), pois diverge ali; fisicamente isso pode indicar uma corrente concentrada (tipo corrente de linha) no eixo, mas tratar essa situação exige teoria de distribuições (delta de Dirac) — normalmente não coberta em exercícios básicos. - Em provas, quando o potencial depende só de
e aponta em , é comum seguir exatamente os passos feitos: calcular e depois .