Determine a densidade de corrente \vec{J} para \vec{A}=10 / \rho^{2} \vec{a}_{z}[\mathrm{~Wb} / \mathrm{m}] no espaço livre, considerando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá a função vetor potencial em coordenadas cilíndricas e pede a densidade de corrente no espaço livre. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Vetor potencial: \vec{A} = \dfrac{10}{\rho^{2}}\,\vec{a}_z (unidades: \mathrm{Wb/m}).
  • Trabalhar em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z).
  • Pedir: a densidade de corrente \vec{J} correspondente, no espaço livre.

Passo 2

Plano para resolver (sem ainda calcular): em magnetostática no espaço livre vale a equação de Maxwell
\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J},
e sabemos que o campo magnético é dado pelo rotor do potencial vetor:
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
Logo a estratégia é:
  1. calcular \vec{B}=\nabla\times\vec{A};
  2. calcular \nabla\times\vec{B};
  3. obter \vec{J}=(1/\mu_0)(\nabla\times\vec{B}).

Passo 3

Fórmula do rotor em coordenadas cilíndricas (para um campo \vec{F}=F_\rho\vec{a}_\rho+F_\varphi\vec{a}_\varphi+F_z\vec{a}_z):
(\nabla\times\vec{F})_\rho=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial F_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_\varphi}{\partial z},
(\nabla\times\vec{F})_\varphi=\frac{\partial F_\rho}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial\rho},
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho F_\varphi)}{\partial\rho}-\frac{\partial F_\rho}{\partial\varphi}\right).
Aqui F_\rho,F_\varphi,F_z são as componentes escalares do campo nas direções unitárias \vec{a}_\rho,\vec{a}_\varphi,\vec{a}_z. Estas fórmulas serão usadas duas vezes (primeiro com \vec{F}=\vec{A}, depois com \vec{F}=\vec{B}).

Passo 4

Identificar as componentes de \vec{A} e suas dependências:
A_\rho=0,\qquad A_\varphi=0,\qquad A_z=\frac{10}{\rho^{2}}.
Observação: \vec{A} depende apenas de \rho (não depende de \varphi nem de z).

Passo 5

Calcular \vec{B}=\nabla\times\vec{A} componente a componente:
  • Componente \rho:
(\nabla\times\vec{A})_\rho=\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \varphi:
(\nabla\times\vec{A})_\varphi=\frac{\partial A_\rho}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial\rho} =0-\frac{d}{d\rho}\left(\frac{10}{\rho^{2}}\right).
Calculemos a derivada:
\frac{d}{d\rho}\left(\frac{10}{\rho^{2}}\right)=10\cdot\frac{d}{d\rho}(\rho^{-2})=10\cdot(-2)\rho^{-3}=-20\rho^{-3}.
Portanto
(\nabla\times\vec{A})_\varphi = -(-20\rho^{-3})=20\rho^{-3}.
  • Componente z:
(\nabla\times\vec{A})_z=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho A_\varphi)}{\partial\rho}-\frac{\partial A_\rho}{\partial\varphi}\right)=\frac{1}{\rho}(0-0)=0.
Logo
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}=20\,\rho^{-3}\,\vec{a}_\varphi.

Passo 6

Agora aplicar \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}. Vamos calcular \nabla\times\vec{B} sabendo
B_\rho=0,\qquad B_\varphi=20\rho^{-3},\qquad B_z=0,
e que B_\varphi depende apenas de \rho.

Passo 7

Calcular \nabla\times\vec{B} componente a componente:
  • Componente \rho:
(\nabla\times\vec{B})_\rho=\frac{1}{\rho}\frac{\partial B_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial B_\varphi}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \varphi:
(\nabla\times\vec{B})_\varphi=\frac{\partial B_\rho}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial\rho}=0-0=0.
  • Componente z:
(\nabla\times\vec{B})_z=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial(\rho B_\varphi)}{\partial\rho}-\frac{\partial B_\rho}{\partial\varphi}\right) =\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\big(\rho\cdot 20\rho^{-3}\big).
Calculemos o interior:
\rho B_\varphi=\rho\cdot 20\rho^{-3}=20\rho^{-2}.
Derivando,
\frac{d}{d\rho}(20\rho^{-2})=20\cdot(-2)\rho^{-3}=-40\rho^{-3}.
Dividindo por \rho,
(\nabla\times\vec{B})_z=\frac{-40\rho^{-3}}{\rho}=-40\rho^{-4}.
Portanto
\nabla\times\vec{B}=-40\,\rho^{-4}\,\vec{a}_z.

Passo 8

Usando \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J} temos
\vec{J}=\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\vec{B})=\frac{1}{\mu_0}\big(-40\rho^{-4}\,\vec{a}_z\big)=-\frac{40}{\mu_0}\,\rho^{-4}\,\vec{a}_z.
Observações finais curtinhas (úteis para a prova):
  • O resultado vale para \rho\neq 0. Há uma singularidade na origem ( \rho=0), pois \vec{A} diverge ali; fisicamente isso pode indicar uma corrente concentrada (tipo corrente de linha) no eixo, mas tratar essa situação exige teoria de distribuições (delta de Dirac) — normalmente não coberta em exercícios básicos.
  • Em provas, quando o potencial depende só de \rho e aponta em \vec{a}_z, é comum seguir exatamente os passos feitos: calcular \vec{B}=\nabla\times\vec{A} e depois \vec{J}=(1/\mu_0)\nabla\times\vec{B}.

Resposta

\displaystyle \vec{J}=-\frac{40}{\mu_0}\,\rho^{-4}\,\vec{a}_z (válido para \rho\neq 0).

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