Um tênue elemento de corrente que se estende entre
e
conduz uma corrente I ao longo de
.
a) Determine
para o ponto P localizado bem distante da origem (considere que esta distância seja muito maior que L para que se considere que o ponto P esteja aproximadamente à mesma distância a partir de qualquer ponto ao longo do elemento de corrente).
b) Determine o
correspondente.
a) Determine
b) Determine o
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O elemento de corrente é uma linha fina ao longo do eixo
, estendendo-se de até . - A corrente tem intensidade
e flui no sentido . - O ponto de observação
está muito distante da origem: seja o vetor posição de e a distância; vale . Podemos então aproximar que a distância de a qualquer ponto do elemento é aproximadamente . - O enunciado pede:
(a) o potencial vetorno ponto sob a aproximação ;
(b) o campo de intensidade magnéticacorrespondente.
Informações relevantes suplementares que usarei (já vindas do enunciado ou padrão):
- A linha de corrente pode ser parametrizada por
com . - Vou usar a fórmula do potencial vetor para uma corrente de linha e a relação entre
e .
Passo 2
Fórmula de partida (magnetostática, corrente de linha): explicando palavras e símbolos.
- A definição do potencial vetor para uma linha de corrente é
onde
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente (constante),
é o elemento de comprimento ao longo da linha (vetor apontando na direção da corrente) e
é a posição do elemento fonte.
Parametrização do nosso elemento:
-
. -
, com variando de a .
Então
Usando a aproximação
: para todos os
dentro do segmento,
(mesma ordem e direção principal). Assim o denominador pode ser aproximado por
e a direção
é constante, então posso tirar constantes fora da integral:
A integral
. Portanto:
Comentário pedagógico rápido: isso significa que, visto de muito longe, o pequeno segmento gera um potencial vetor paralelo ao eixo
com magnitude proporcional ao comprimento
e decaindo como
. Essa é a ordem dominante ao aproximar o denominador por
; termos de ordem superior em
dariam correções angulares.
Passo 3
Agora calculamos
. Relação entre
,
e
:
Substituindo a expressão aproximada de
. Defina a constante
assim
.
Use a identidade vetorial simples: se
é constante (vetor unitário fixo) então
pois
.
Calcule
. Lembre que
é o vetor posição do ponto
, então
Logo
onde usei
.
Agora divida por
para obter
:
Substituindo
cancela
:
Passo 4
Expressão mais intuitiva em coordenadas esféricas. Seja
o ponto
(ângulo polar
medido a partir do eixo
). Usa-se a identidade
Portanto a forma escalar-vetorial fica
Interpretação física:
é tangencial (direção azimutal
), ou seja, circula em torno do eixo
(como manda a regra da mão direita) e decai com a distância como
(no regime
). Se for preciso o campo magnético
, basta multiplicar por
: