Um tênue elemento de corrente que se estende entre \mathrm{z}=-\mathrm{L} / 2 e \mathrm{z}=\mathrm{L} / 2 conduz uma corrente I ao longo de +\vec{a}_{z}.
a) Determine \vec{A} para o ponto P localizado bem distante da origem (considere que esta distância seja muito maior que L para que se considere que o ponto P esteja aproximadamente à mesma distância a partir de qualquer ponto ao longo do elemento de corrente).
b) Determine o \vec{H} correspondente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O elemento de corrente é uma linha fina ao longo do eixo z, estendendo-se de z'=-\tfrac{L}{2} até z'=+\tfrac{L}{2}.
  • A corrente tem intensidade I e flui no sentido +\hat{a}_z.
  • O ponto de observação P está muito distante da origem: seja \vec{r} o vetor posição de P e r=|\vec{r}| a distância; vale r\gg L. Podemos então aproximar que a distância de P a qualquer ponto do elemento é aproximadamente r.
  • O enunciado pede:
    (a) o potencial vetor \vec{A}(\vec{r}) no ponto P sob a aproximação r\gg L;
    (b) o campo de intensidade magnética \vec{H}(\vec{r}) correspondente.
Informações relevantes suplementares que usarei (já vindas do enunciado ou padrão):
  • A linha de corrente pode ser parametrizada por \vec{r}\,' = z'\,\hat{a}_z com z'\in[-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}].
  • Vou usar a fórmula do potencial vetor para uma corrente de linha e a relação entre \vec{A} e \vec{H}.

Passo 2

Fórmula de partida (magnetostática, corrente de linha): explicando palavras e símbolos.
  • A definição do potencial vetor para uma linha de corrente é
\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\text{linha}}\frac{I\,d\vec{l}'}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, I é a corrente (constante), d\vec{l}' é o elemento de comprimento ao longo da linha (vetor apontando na direção da corrente) e \vec{r}\,' é a posição do elemento fonte.
Parametrização do nosso elemento:
  • d\vec{l}' = dz'\,\hat{a}_z.
  • \vec{r}\,' = z'\,\hat{a}_z, com z' variando de -\tfrac{L}{2} a +\tfrac{L}{2}.
Então
\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dz'\,\hat{a}_z}{|\vec{r}-\vec{r}\,'|}.
Usando a aproximação r\gg L: para todos os z' dentro do segmento, |\vec{r}-\vec{r}\,'|\approx r (mesma ordem e direção principal). Assim o denominador pode ser aproximado por r e a direção \hat{a}_z é constante, então posso tirar constantes fora da integral:
\vec{A}(\vec{r})\approx\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,\hat{a}_z\int_{-L/2}^{L/2}dz' .
A integral \displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}dz' = L. Portanto:
\boxed{\displaystyle \vec{A}(\vec{r})\approx \frac{\mu_0 I L}{4\pi r}\,\hat{a}_z,\quad (r\gg L).}
Comentário pedagógico rápido: isso significa que, visto de muito longe, o pequeno segmento gera um potencial vetor paralelo ao eixo z com magnitude proporcional ao comprimento L e decaindo como 1/r. Essa é a ordem dominante ao aproximar o denominador por r; termos de ordem superior em L/r dariam correções angulares.

Passo 3

Agora calculamos \vec{H}. Relação entre \vec{A}, \vec{B} e \vec{H}:
\vec{B}=\nabla\times\vec{A},\qquad \vec{B}=\mu_0\vec{H}\quad\Rightarrow\quad \vec{H}=\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\vec{A}.
Substituindo a expressão aproximada de \vec{A}. Defina a constante
C=\frac{\mu_0 I L}{4\pi},
assim \vec{A}(\vec{r})=C\frac{1}{r}\,\hat{a}_z.
Use a identidade vetorial simples: se \hat{a}_z é constante (vetor unitário fixo) então
\nabla\times\Big(\frac{1}{r}\hat{a}_z\Big)=\nabla\Big(\frac{1}{r}\Big)\times\hat{a}_z,
pois \nabla\times\hat{a}_z=\vec{0}.
Calcule \nabla(1/r). Lembre que \vec{r} é o vetor posição do ponto P, então
\nabla\Big(\frac{1}{r}\Big)=-\frac{\vec{r}}{r^3}.
Logo
\nabla\times\vec{A}=C\left(-\frac{\vec{r}}{r^3}\right)\times\hat{a}_z = C\frac{\hat{a}_z\times\vec{r}}{r^3},
onde usei -\vec{r}\times\hat{a}_z=\hat{a}_z\times\vec{r}.
Agora divida por \mu_0 para obter \vec{H}:
\vec{H}(\vec{r})=\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\vec{A} = \frac{C}{\mu_0}\frac{\hat{a}_z\times\vec{r}}{r^3}.
Substituindo C=\dfrac{\mu_0 I L}{4\pi} cancela \mu_0:
\boxed{\displaystyle \vec{H}(\vec{r})\approx \frac{I L}{4\pi}\,\frac{\hat{a}_z\times\vec{r}}{r^3},\quad (r\gg L).}

Passo 4

Expressão mais intuitiva em coordenadas esféricas. Seja (r,\theta,\varphi) o ponto P (ângulo polar \theta medido a partir do eixo z). Usa-se a identidade
\hat{a}_z\times\vec{r}= \hat{a}_z\times(r\hat{r})= r\big(\hat{a}_z\times\hat{r}\big)= r\sin\theta\,\hat{a}_\varphi.
Portanto a forma escalar-vetorial fica
\vec{H}(\vec{r})=\frac{I L}{4\pi r^2}\,\sin\theta\,\hat{a}_\varphi.
Interpretação física: \vec{H} é tangencial (direção azimutal \hat{a}_\varphi), ou seja, circula em torno do eixo z (como manda a regra da mão direita) e decai com a distância como 1/r^2 (no regime r\gg L). Se for preciso o campo magnético \vec{B}, basta multiplicar por \mu_0:
\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{H}(\vec{r})=\frac{\mu_0 I L}{4\pi r^2}\sin\theta\,\hat{a}_\varphi.

Resposta

\displaystyle \vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_0 I L}{4\pi r}\,\hat{a}_z
\displaystyle \vec{H}(\vec{r})=\frac{I L}{4\pi}\,\frac{\hat{a}_z\times\vec{r}}{r^3}=\frac{I L}{4\pi r^2}\sin\theta\,\hat{a}_\varphi

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