Problema 2.8. Um navio é rebocado através de um canal estreito aplicando forças a três cordas presas à sua proa. Determine o módulo e a orientação theta da força F de modo que a força resultante esteja na na direção da linha a e o módulo de F seja o menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender direitinho o que o exercício pede e que matéria vamos usar.
– Enunciado resumido: num canal estreito estão presas três cordas na proa de um navio. Duas delas já produzem forças conhecidas e , e a terceira é nossa incógnita , com módulo e orientação . Queremos que a soma vetorial dessas três forças (a resultante) aponte exatamente ao longo de uma linha “ ” (vamos chamar o ângulo dessa linha de ) e, ao mesmo tempo, que o módulo seja o menor possível.
– Conteúdo envolvido: soma de vetores aplicando decomposição em componentes, condição para que a resultante tenha certa direção e depois otimização (mínimo de ).
– O que precisamos:
  1. Escolher eixos, de preferência colocar o eixo paralelo à linha (para que a resultante deva ter só componente e componente nula).
  2. Escrever componentes e de e .
  3. Impor que a soma das componentes seja zero (para garantir direção em ).
  4. A partir daí extrair e , e escolher para que seja mínimo.

Passo 2

Definindo:
– Direção da linha vec F1 &= l(F1cos(alpha1-alphaa),;F1sin(alpha1-alphaa)r), vec F2 &= l(F2cos(alpha2-alphaa),;F2sin(alpha2-alphaa)r), vec F &= l(Fcos(theta-alphaa),;Fsin(theta-alphaa)r) tem ângulo num sistema de referência fixo.
– As forças conhecidas têm magnitudes e fazem ângulos com o mesmo referencial.
– A força incógnita tem magnitude e ângulo .
Escolhemos o eixo paralelo à linha . Então, para cada força, escrevemos:

Passo 3

Condição para que a resultante Ry = F1sin(alpha1-alphaa) + F2sin(alpha2-alphaa) + Fsin(theta-alphaa) = 0 aponte em Fsin(theta-alphaa) = -l[F1sin(alpha1-alphaa)+F2sin(alpha2-alphaa)r] :
– A componente de deve ser zero.
Isolando :

Passo 4

Para um dado valor de
S ;=; F1sin(alpha1-alphaa)+F2sin(alpha2-alphaa),
essa equação vira
F = -,Ssin(theta-alphaa)
Queremos Fmin = |S| = l|,F1sin(alpha1-alphaa)+F2sin(alpha2-alphaa)r| mínimo em valor absoluto. Como theta - alphaa = +90^circ, -90^circ, Longrightarrow theta = alphaa pm 90^circ , o menor (em módulo) ocorre quando . Logo
Nesse caso , então

Resposta

Magnitude mínima de boxedFmin ;=;l|,F1sin(alpha1-alphaa)+F2sin(alpha2-alphaa)r| :
boxedtheta = alphaa + 90^circ ou theta = alphaa - 90^circ
Orientação correspondente:

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