Problema 2.8. Um navio é rebocado através de um canal estreito aplicando forças a três cordas presas à sua proa. Determine o módulo e a orientação da força de modo que a força resultante esteja na na direção da linha e o módulo de seja o menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender direitinho o que o exercício pede e que matéria vamos usar.
– Enunciado resumido: num canal estreito estão presas três cordas na proa de um navio. Duas delas já produzem forças conhecidas e , e a terceira é nossa incógnita , com módulo e orientação . Queremos que a soma vetorial dessas três forças (a resultante) aponte exatamente ao longo de uma linha “” (vamos chamar o ângulo dessa linha de ) e, ao mesmo tempo, que o módulo seja o menor possível.
– Conteúdo envolvido: soma de vetores aplicando decomposição em componentes, condição para que a resultante tenha certa direção e depois otimização (mínimo de ).
– O que precisamos:
Escolher eixos, de preferência colocar o eixo paralelo à linha (para que a resultante deva ter só componente e componente nula).
Escrever componentes e de e .
Impor que a soma das componentes seja zero (para garantir direção em ).
A partir daí extrair e , e escolher para que seja mínimo.
Passo 2
Definindo:
– Direção da linha tem ângulo num sistema de referência fixo.
– As forças conhecidas têm magnitudes e fazem ângulos com o mesmo referencial.
– A força incógnita tem magnitude e ângulo .
Escolhemos o eixo paralelo à linha . Então, para cada força, escrevemos:
Passo 3
Condição para que a resultante aponte em :
– A componente de deve ser zero.
Isolando :
Passo 4
Para um dado valor de
essa equação vira
Queremos mínimo em valor absoluto. Como , o menor (em módulo) ocorre quando . Logo
Nesse caso , então
Resposta
Magnitude mínima de boxedFmin ;=;l|,F1sin(alpha1-alphaa)+F2sin(alpha2-alphaa)r| :