Usando as unidades básicas do sistema SI, mostre que a Equação abaixo é dimensionalmente homogênea que resulta F em Newtons (N). Determine, com três algarismos significativos, a força de gravidade que atua entre duas esferas que se tocam. A massa de cada esfera é 200 kg e o raio é 300 mm . Dado G=6,673(10^-11) m^3 /(kg s^2).
F=G m1 m2r^2

Passo 1

Então, o enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que a fórmula
F = G ,m1,m2r^2
é dimensionalmente homogênea em unidades básicas do SI (ou seja, dá Newtons).
2) Calcular numericamente a força de gravidade entre duas esferas de massa 200 kg cada, que se tocam (raio 300 mm cada), usando
G = 6,673 times 10^-11,m^3kg,s^2
Matéria: gravitação universal e análise dimensional. Vamos precisar converter o raio de mm para m, saber o valor de , das massas e da distância , e lembrar o que é um Newton em unidades base.

Passo 2

Análise dimensional:
  • Dimensão de [F]=[G];[m1],[m2][r]^2 =m^3kg,s^2;kg^2m^2 =m,kgs^2, é
  • Dimensão de é
  • Dimensão de é
    Logo
e é exatamente a definição de Newton. Então está tudo certinho: a fórmula é homogênea.

Passo 3

Agora vamos para o cálculo. Primeiro, convertemos o raio:
300 mm = 0,300 m
Como as esferas se tocam, a distância entre centros é
r = 0,300 + 0,300 = 0,600 m
Substituímos em
F = G ,m1,m2r^2 =6,673times10^-11;(200)(200)(0,600)^2

Passo 4

Calculando passo a passo:
  1. F = 2,6692times10^-60,3600 approx 7,414times10^-6,N .
  2. Numerador:
  3. Dividindo:
Com três algarismos significativos, fica .

Resposta

A equação é dimensionalmente homogênea em SI (dá F approx 7,41times10^-6 N) e, para as duas esferas,

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