Problema 5: O objetivo de um navio é chegar a um porto situado 120 km ao norte do ponto de partida, mas uma tempestade inesperada o leva para um local situado 100 km a leste do ponto de partida.
(c) Em termos de álgebra vetorial, como este terceiro vetor se relaciona com os dois vetores dados inicialmente?
Passo 1
O enunciado dá duas informações de deslocamento a partir do ponto de partida:
- O porto está a
km ao norte do ponto de partida. - A tempestade levou o navio para um local
km a leste do ponto de partida.
A pergunta (c) pede, em termos de álgebra vetorial, como o “terceiro vetor” (o deslocamento do local em que o navio ficou até o porto) se relaciona com os dois vetores dados inicialmente.
Passo 2
Primeiro vamos representar os dois vetores dados em componentes — isso facilita muito a álgebra vetorial.
Escolho o sistema de coordenadas padrão:
- eixo
positivo para leste, - eixo
positivo para norte.
Defino:
-
= vetor do ponto de partida até o porto (norte) = em km. Em notação com vetores unitários: . -
= vetor do ponto de partida até o ponto onde o navio ficou (leste) = em km. Em notação unitária: .
Explicação rápida (didática): cada vetor
significa “andar
km na direção leste (se
) ou oeste (se
), e
km na direção norte (se
) ou sul (se
).”
Passo 3
Agora identificamos o terceiro vetor pedido: é o deslocamento do local onde o navio ficou (após a tempestade) até o porto. Em termos vetoriais, se partir do ponto de origem, ir até o local da tempestade (
), e daí ir até o porto (
, o tal terceiro vetor), o resultado é o vetor
. Isso vira a equação (regra do polígono/triângulo de vetores):
Isolando
(o deslocamento que falta para chegar ao porto):
Passo 4
Calculemos componente a componente (subtração de vetores faz-se subtraindo as componentes correspondentes):
Interpretação física:
significa que, a partir do ponto onde o navio ficou, é preciso ir
km para o oeste (por isso o
no eixo
) e
km para o norte.
Em notação unitária:
Passo 5
Bônus prático (útil na prova): se quiser o comprimento (distância direta) e a direção do terceiro vetor, calcula-se:
E a direção em relação ao oeste/norte pode ser obtida por tangente:
ou seja, o rumo do ponto da tempestade ao porto é
ao norte do oeste (ou
ao oeste do norte).