Problema 5: O objetivo de um navio é chegar a um porto situado 120 km ao norte do ponto de partida, mas uma tempestade inesperada o leva para um local situado 100 km a leste do ponto de partida.
(c) Em termos de álgebra vetorial, como este terceiro vetor se relaciona com os dois vetores dados inicialmente?

Passo 1

O enunciado dá duas informações de deslocamento a partir do ponto de partida:
  • O porto está a 120 km ao norte do ponto de partida.
  • A tempestade levou o navio para um local 100 km a leste do ponto de partida.
A pergunta (c) pede, em termos de álgebra vetorial, como o “terceiro vetor” (o deslocamento do local em que o navio ficou até o porto) se relaciona com os dois vetores dados inicialmente.

Passo 2

Primeiro vamos representar os dois vetores dados em componentes — isso facilita muito a álgebra vetorial.
Escolho o sistema de coordenadas padrão:
  • eixo x positivo para leste,
  • eixo y positivo para norte.
Defino:
  • \vec{N} = vetor do ponto de partida até o porto (norte) = (0,120) em km. Em notação com vetores unitários: \vec{N}=120\hat{j}.
  • \vec{E} = vetor do ponto de partida até o ponto onde o navio ficou (leste) = (100,0) em km. Em notação unitária: \vec{E}=100\hat{i}.
Explicação rápida (didática): cada vetor (x,y) significa “andar x km na direção leste (se x>0) ou oeste (se x<0), e y km na direção norte (se y>0) ou sul (se y<0).”

Passo 3

Agora identificamos o terceiro vetor pedido: é o deslocamento do local onde o navio ficou (após a tempestade) até o porto. Em termos vetoriais, se partir do ponto de origem, ir até o local da tempestade ( \vec{E}), e daí ir até o porto ( \vec{W}, o tal terceiro vetor), o resultado é o vetor \vec{N}. Isso vira a equação (regra do polígono/triângulo de vetores):
\vec{N}=\vec{E}+\vec{W}.
Isolando \vec{W} (o deslocamento que falta para chegar ao porto):
\vec{W}=\vec{N}-\vec{E}.

Passo 4

Calculemos componente a componente (subtração de vetores faz-se subtraindo as componentes correspondentes):
\vec{W}=(0-100,\;120-0)=(-100,\;120).
Interpretação física: \vec{W}=(-100,120) significa que, a partir do ponto onde o navio ficou, é preciso ir 100 km para o oeste (por isso o -100 no eixo x) e 120 km para o norte.
Em notação unitária:
\vec{W}=-100\hat{i}+120\hat{j}.

Passo 5

Bônus prático (útil na prova): se quiser o comprimento (distância direta) e a direção do terceiro vetor, calcula-se:
\|\vec{W}\|=\sqrt{(-100)^2+120^2}=\sqrt{24400}=20\sqrt{61}\approx156{,}2\\ \text{km}.
E a direção em relação ao oeste/norte pode ser obtida por tangente:
\theta=\arctan\!\left(\frac{120}{100}\right)\approx50{,}19^\circ,
ou seja, o rumo do ponto da tempestade ao porto é 50{,}19^\circ ao norte do oeste (ou 39{,}81^\circ ao oeste do norte).

Resposta

\vec{W}=\vec{N}-\vec{E}=(-100,120)=-100\hat{i}+120\hat{j}

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