2-5 REVIEW: RADIUS OF CONVERGENCE
Determine the radius of convergence. Show the details of your work.
  1. \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{2 m+1}}{(2 m+1)!}
    separador task_4
  2. \sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{m} x^{2 m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que foi dado para cada série.
  • Questão 4: a série é \sum_{m=0}^{\infty} \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}. Pede-se determinar o raio de convergência.
  • Questão 5: a série é \sum_{m=0}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{m} x^{2m}. Pede-se determinar o raio de convergência.
Informações relevantes fornecidas:
  • Em (4) os termos dependem de m através de potências \,x^{2m+1}\, e fatoriais (2m+1)!.
  • Em (5) os termos são \left(\dfrac{2}{3}\right)^{m} x^{2m}, que pode ser vista como uma potência em m de \left(\dfrac{2}{3}x^{2}\right).

Passo 2

Primeiro, uma palavrinha didática sobre testes que vamos usar (não se assuste — é simples):
  • Teste da razão (d’Alembert): para termos a_m de uma série de potências, calcula-se \lim_{m\to\infty}\left|\dfrac{a_{m+1}}{a_m}\right|. Se esse limite L satisfaz L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo.
  • Também vale lembrar: se a série é geométrica em m, \sum r^{m} converge iff |r|<1. Isso dá o raio de convergência direto quando a série tem forma geométrica.

Passo 3

Resolvendo a questão 4: aplicar o teste da razão.
Defina o termo geral
a_m = \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}.
Calcule a razão dos módulos:
\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| = \left|\frac{x^{2(m+1)+1}}{(2(m+1)+1)!}\cdot\frac{(2m+1)!}{x^{2m+1}}\right| = \left|\frac{x^{2}}{(2m+3)(2m+2)}\right|.
Agora passe ao limite quando m\to\infty:
\lim_{m\to\infty}\left|\frac{a_{m+1}}{a_m}\right| = \lim_{m\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2m+3)(2m+2)} = 0.
Esse limite é 0 para todo valor finito de x. Pelo teste da razão, como 0<1, a série converge absolutamente para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito.
Comentário extra (intuído): isso condiz com o fato de que \sum_{m=0}^\infty \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} é a soma das potências ímpares do \exp(x) (na verdade é \operatorname{sinh}(x)), que converge para todo x.

Passo 4

Resolvendo a questão 5: reconhecer forma geométrica e aplicar a condição de convergência da série geométrica.
Escreva o termo geral como
b_m = \left(\frac{2}{3}\right)^m x^{2m} = \left(\frac{2}{3}x^{2}\right)^{m}.
Isto é uma série geométrica em m com razão
r = \frac{2}{3}x^{2}.
A série geométrica \sum r^{m} converge exatamente quando |r|<1. Logo a condição aqui é
\left|\frac{2}{3}x^{2}\right|<1.
Como |x^{2}|=|x|^{2}, isso é equivalente a
\frac{2}{3}|x|^{2}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|^{2}<\frac{3}{2}.
Tomando raiz positiva,
|x|<\sqrt{\frac{3}{2}}.
Portanto o raio de convergência é \displaystyle R=\sqrt{\frac{3}{2}}.
Observação alternativa (mais formal): aplicar a fórmula da raiz \limsup_{m\to\infty} |b_m|^{1/m} = \frac{2}{3}|x|^{2} e exigir que isso seja menor que 1 dá a mesma condição.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (curto e doce):
  • Na (4) o teste da razão deu limite 0 para qualquer x, então a série converge para todo x e R=\infty.
  • Na (5) a série é geométrica com razão \dfrac{2}{3}x^{2}; exige-se \left|\dfrac{2}{3}x^{2}\right|<1, o que leva a R=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.

Resposta

  1. R=\infty
  2. R=\sqrt{\dfrac{3}{2}}

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