Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que foi dado para cada série.
Questão 4: a série é \sum_{m=0}^{\infty} \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}. Pede-se determinar o raio de convergência.
Questão 5: a série é \sum_{m=0}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{m} x^{2m}. Pede-se determinar o raio de convergência.
Informações relevantes fornecidas:
Em (4) os termos dependem de m através de potências \,x^{2m+1}\, e fatoriais (2m+1)!.
Em (5) os termos são \left(\dfrac{2}{3}\right)^{m} x^{2m}, que pode ser vista como uma potência em m de \left(\dfrac{2}{3}x^{2}\right).
Passo 2
Primeiro, uma palavrinha didática sobre testes que vamos usar (não se assuste — é simples):
Teste da razão (d’Alembert): para termos a_m de uma série de potências, calcula-se \lim_{m\to\infty}\left|\dfrac{a_{m+1}}{a_m}\right|. Se esse limite L satisfaz L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 é inconclusivo.
Também vale lembrar: se a série é geométrica em m, \sum r^{m} converge iff |r|<1. Isso dá o raio de convergência direto quando a série tem forma geométrica.
Esse limite é 0 para todo valor finito de x. Pelo teste da razão, como 0<1, a série converge absolutamente para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito.
Comentário extra (intuído): isso condiz com o fato de que \sum_{m=0}^\infty \dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} é a soma das potências ímpares do \exp(x) (na verdade é \operatorname{sinh}(x)), que converge para todo x.
Passo 4
Resolvendo a questão 5: reconhecer forma geométrica e aplicar a condição de convergência da série geométrica.
Portanto o raio de convergência é \displaystyle R=\sqrt{\frac{3}{2}}.
Observação alternativa (mais formal): aplicar a fórmula da raiz \limsup_{m\to\infty} |b_m|^{1/m} = \frac{2}{3}|x|^{2} e exigir que isso seja menor que 1 dá a mesma condição.
Passo 5
Resumo final do raciocínio (curto e doce):
Na (4) o teste da razão deu limite 0 para qualquer x, então a série converge para todo x e R=\infty.
Na (5) a série é geométrica com razão \dfrac{2}{3}x^{2}; exige-se \left|\dfrac{2}{3}x^{2}\right|<1, o que leva a R=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.