2-5 REVIEW: RADIUS OF CONVERGENCE
Determine the radius of convergence. Show the details of your work.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma série ou expressão para os coeficientes foi dada. Ou seja, não há nenhum a_n nem nenhum centro c especificado.

Passo 2

Por que isso importa (sem resolver nada ainda)?
Para determinar um raio de convergência é necessário conhecer a série de potências da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n,
isto é, os coeficientes \,a_n (e opcionalmente o centro \,c). Sem os coeficientes não há como calcular um valor numérico para o raio de convergência. Portanto, com o enunciado atual não é possível dar um número final. Abaixo eu ensino como se faz quando os a_n são conhecidos.

Passo 3

Fórmula principal (Cauchy–Hadamard):
Seja uma série de potências \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n. O raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\root n\of{|a_n|}}.
Explicando as peças:
  • \root n\of{|a_n|} significa |a_n|^{1/n}.
  • \displaystyle\limsup_{n\to\infty} b_n é o limite superior da sequência (b_n); canonicamente \displaystyle\limsup_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n} b_k. É a menor limite possível de subsequências superiores.
    Interpretações úteis:
  • Se \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=L\in(0,\infty) então R=1/L.
  • Se \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=0 então R=+\infty (converge para todo x).
  • Se \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=+\infty então R=0 (só possível convergir em x=c).

Passo 4

Método prático alternativo (teste da razão):
Se existir o limite
L'=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
então o raio de convergência é
R=\frac{1}{L'}.
Motivação curta: aplicar o teste da razão à série em x reduz a condição de convergência a |x-c|<1/L'. Observação: o teste da razão exige que o limite L' exista (ou que se encontre o \limsup correspondente); se não existir, volte à fórmula do passo anterior.

Passo 5

Exemplos resolvidos (passo a passo), para treinar a aplicação:
Exemplo A — série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^n. Aqui a_n=1.
\root n\of{|a_n|}=\root n\of{1}=1\quad\Rightarrow\quad \limsup_{n\to\infty}\root n\of{|a_n|}=1,
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R=\frac{1}{1}=1.
Exemplo B — a_n=\dfrac{1}{n}, série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(x-c)^n}{n}.
\root n\of{|a_n|}=\root n\of{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n^{1/n}}.
Como \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1, segue \lim_{n\to\infty}\root n\of{|a_n|}=1 e
R=\frac{1}{1}=1.
Exemplo C — a_n=n!. Use o teste da razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\quad\Rightarrow\quad L'=\lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty.
Então R=1/\infty=0. A série só pode convergir em x=c.
Exemplo D — a_n=3^n/n^2. Calcule a raiz:
\root n\of{|a_n|}=\root n\of{\frac{3^n}{n^2}}=3\cdot n^{-2/n}.
Como \lim_{n\to\infty} n^{-2/n}=1, tem-se \limsup_{n\to\infty}\root n\of{|a_n|}=3 e
R=\frac{1}{3}.

Passo 6

Observações úteis para a prova (dicas rápidas e concretas):
  • Se os coeficientes têm fator exponencial como a_n\sim C\cdot \alpha^n (ou seja, dominados por \alpha^n), então \root n\of{|a_n|}\to|\alpha| e R=1/|\alpha|. Ex.: a_n=2^{-n}\Rightarrow R=2.
  • Se os coeficientes envolvem fatoriais, normalmente o raio é 0 (crescimento muito rápido) ou \infty (decrescimento muito rápido) dependendo de se é n! ou 1/n!.
  • Quando possível, prefira o teste da razão por ser mais simples algébrica e, quando o limite da razão não existir, use a fórmula do passo 3 com \limsup.

Passo 7

Centro da série e interpretação final:
Para \sum a_n (x-c)^n, o R obtido define o intervalo (ou disco, no caso complexo)
|x-c|<R
onde a série converge absolutamente. A convergência exatamente em |x-c|=R (os extremos) precisa ser testada caso a caso com testes de séries (Dirichlet, Abel, Leibniz, comparação, etc.).

Passo 8

Conclusão aplicada ao enunciado recebido: como não foram fornecidos os coeficientes \,a_n nem a forma da série de potências, não é possível calcular um valor numérico para o raio de convergência. Mostrei acima os métodos e vários exemplos de como proceder quando os coeficientes forem conhecidos — siga esses passos na prova: identifique a_n, tente o teste da razão; se falhar, calcule \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} e aplique Cauchy–Hadamard.

Resposta

Não é possível determinar o raio de convergência porque o enunciado não fornece a série nem os coeficientes a_n.

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