Problema 3.1 Observações conduzidas numa faixa de rolamento de uma rodovia produziram os seguintes dados sobre a velocidade média no espaço e a densidade da corrente de tráfego:
Usando a hipótese de Greenshields,
(d) qual o headway médio e o espaçamento médio quando a velocidade for 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e que dados temos (peguei estes números da imagem/tabela):
  • Pedido: usando a hipótese de Greenshields, “qual o headway médio e o espaçamento médio quando a velocidade for 60\\ \mathrm{km/h} ?”
  • Dados (retirados da imagem):
    • Velocidades (em \mathrm{km/h}): 97,\\\ 65,\\\ 34,\\\ 83,\\\ 106,\\\ 57,\\\ 15,\\\ 55.
    • Concentrações / densidades (em \mathrm{veic/km}): 7,\\\ 39,\\\ 64,\\\ 27,\\\ 3{,}5,\\\ 45,\\\ 85,\\\ 50.
  • Observação importante: vou ajustar a hipótese de Greenshields aos pontos (k,v) acima por regressão linear v em função de k, obter os parâmetros do modelo e então calcular a densidade correspondente a v=60\\ \mathrm{km/h}; com essa densidade calculo flow, headway (tempo) e espaçamento (distância).

Passo 2

Breve aula sobre o modelo de Greenshields (passo-a-passo e significado físico).
  • Hipótese de Greenshields: a velocidade média diminui linearmente com a densidade. A forma usual é
v = v_f\!\left(1 - \dfrac{k}{k_j}\right),
onde:
  • v é a velocidade média ( \mathrm{km/h}),
  • k é a densidade ( \mathrm{veic/km}),
  • v_f é a velocidade de livre-fluxo (free-flow speed), isto é, a velocidade quando k=0,
  • k_j é a densidade de engarrafamento (jam density), isto é, a densidade quando v=0.
  • Reescrevendo em forma linear (reta) para ajustar por regressão:
v = a + b\,k,
onde a=v_f é o intercepto e b=-\dfrac{v_f}{k_j} é a inclinação (espera-se b<0).
  • Depois de ajustar a e b pelos dados, recupera-se v_f=a e k_j = -\dfrac{a}{b}.
  • Para passar de densidade para headway médio (tempo entre veículos) e espaçamento (distância entre veículos):
    • fluxo: \;q = k\,v (em \mathrm{veic/h} se k em \mathrm{veic/km} e v em \mathrm{km/h}).
    • headway médio (tempo), em segundos: \;h = \dfrac{3600}{q} (pois 3600 segundos = 1 hora).
    • espaçamento médio (distância entre eixos de veículos), em metros: \;s = \dfrac{1000}{k} (porque 1/k é km por veículo, multiplicando por 1000 dá metros por veículo).
  • Estes passos são suficientes para ir do ajuste linear até as quantidades pedidas.

Passo 3

Preparar a regressão linear (cálculo das somas necessárias). Vou numerar os pontos (k_i,v_i) e calcular as somas:
  • Dados tabulados (repito para clareza):
    1. k_1=7,\\ v_1=97
    2. k_2=39,\\ v_2=65
    3. k_3=64,\\ v_3=34
    4. k_4=27,\\ v_4=83
    5. k_5=3{,}5,\\ v_5=106
    6. k_6=45,\\ v_6=57
    7. k_7=85,\\ v_7=15
    8. k_8=50,\\ v_8=55
  • Calcular as somas necessárias para mínimos quadrados (número de pontos n=8):
    • \displaystyle \sum k_i = 320{,}5
    • \displaystyle \sum v_i = 512
    • \displaystyle \sum k_i v_i = 14\,592
    • \displaystyle \sum k_i^2 = 18\,157{,}25
(estas somas foram obtidas multipicando e somando termo a termo a partir da tabela de dados.)

Passo 4

Cálculo dos coeficientes da regressão linear v = a + b\,k por mínimos quadrados.
  • Fórmulas (lembrete):
b = \dfrac{n\sum k_i v_i - (\sum k_i)(\sum v_i)}{n\sum k_i^2 - (\sum k_i)^2}, \qquad a = \dfrac{\sum v_i - b\sum k_i}{n}.
  • Substituindo os números:
b = \dfrac{8\cdot 14\,592 - 320{,}5\cdot 512}{8\cdot 18\,157{,}25 - (320{,}5)^2} = \dfrac{116\,736 - 164\,096}{145\,258 - 102\,720{,}25} = \dfrac{-47\,360}{42\,537{,}75}.
  • Portanto
b \approx -1{,}11336\quad(\mathrm{km/h\\ per\\ veic/km}).
  • Agora a:
a = \dfrac{512 - b\cdot 320{,}5}{8} = \dfrac{512 - (-1{,}11336)\cdot 320{,}5}{8} \approx \dfrac{512 + 356{,}832}{8} \approx 108{,}604.
  • Interpretação:
    • \;v_f = a \approx 108{,}6\\ \mathrm{km/h} (velocidade de livre-fluxo).
    • \;k_j = -\dfrac{a}{b} \approx -\dfrac{108{,}604}{-1{,}11336} \approx 97{,}56\\ \mathrm{veic/km}.

Passo 5

Obter a densidade prevista quando v=60\\ \mathrm{km/h} usando Greenshields.
  • A relação direta (rearranjando v = v_f(1 - k/k_j)) dá:
k = k_j\!\left(1 - \dfrac{v}{v_f}\right).
  • Substituindo v=60\\ \mathrm{km/h}, v_f\approx 108{,}604\\ \mathrm{km/h} e k_j\approx 97{,}56\\ \mathrm{veic/km}:
k \approx 97{,}56\left(1 - \dfrac{60}{108{,}604}\right).
  • Calcule a fração:
\dfrac{60}{108{,}604}\approx 0{,}5526, \quad\text{logo}\quad 1-\dfrac{60}{108{,}604}\approx 0{,}4474.
  • Assim
k \approx 97{,}56 \times 0{,}4474 \approx 43{,}63\\ \mathrm{veic/km}.

Passo 6

Calcular o fluxo q, o headway médio h e o espaçamento médio s.
  • Primeiro o fluxo (veic/h):
q = k\,v = 43{,}63\\ \mathrm{veic/km}\times 60\\ \mathrm{km/h} \approx 2\,617{,}8\\ \mathrm{veic/h}.
  • Headway médio (tempo entre veículos), em segundos:
h = \dfrac{3600}{q} \approx \dfrac{3600}{2\,617{,}8} \approx 1{,}376\\ \mathrm{s}.
  • Explicando: q está em veic/h; como 1 hora = 3600 s, cada veículo chega em média a cada 3600/q segundos.
  • Espaçamento médio (distância entre veículos), em metros:
s = \dfrac{1000}{k} \approx \dfrac{1000}{43{,}63} \approx 22{,}92\\ \mathrm{m}.
  • Verificação (consistência física): s também pode ser obtido como s = v\,(h) com v em m/s. Aqui v=60\\ \mathrm{km/h}=16{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s} e h\approx 1{,}376\\ \mathrm{s} s\approx 16{,}666\cdot 1{,}376\approx 22{,}93\\ \mathrm{m}, consistente com o valor acima (diferenças por arredondamento).

Passo 7

Resumo final dos valores com unidades e interpretação curta (para usar na prova).
  • Densidade prevista a 60\\ \mathrm{km/h}: \;k\approx 43{,}63\\ \mathrm{veic/km}.
  • Fluxo correspondente: \;q\approx 2\,617{,}8\\ \mathrm{veic/h}.
  • Headway médio (tempo entre veículos): \;h\approx 1{,}376\\ \mathrm{s}.
  • Espaçamento médio (distância entre veículos): \;s\approx 22{,}92\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação rápida: com base no ajuste Greenshields aos dados, a 60 km/h espera-se aproximadamente 44 veículos por km, espaçados entre si em cerca de 23 m e separação temporal de ~1,38 s.

Resposta

Headway médio: h \approx 1{,}376\\ \mathrm{s}
Espaçamento médio: s \approx 22{,}92\\ \mathrm{m}

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