Problema 3.1 Observações conduzidas numa faixa de rolamento de uma rodovia produziram os seguintes dados sobre a velocidade média no espaço e a densidade da corrente de tráfego:
Usando a hipótese de Greenshields,
(d) qual o headway médio e o espaçamento médio quando a velocidade for
?
Usando a hipótese de Greenshields,
Passo 1
O que o enunciado pede e que dados temos (peguei estes números da imagem/tabela):
- Pedido: usando a hipótese de Greenshields, “qual o headway médio e o espaçamento médio quando a velocidade for
?” - Dados (retirados da imagem):
- Velocidades (em
): . - Concentrações / densidades (em
): .
- Velocidades (em
- Observação importante: vou ajustar a hipótese de Greenshields aos pontos
acima por regressão linear em função de , obter os parâmetros do modelo e então calcular a densidade correspondente a ; com essa densidade calculo flow, headway (tempo) e espaçamento (distância).
Passo 2
Breve aula sobre o modelo de Greenshields (passo-a-passo e significado físico).
- Hipótese de Greenshields: a velocidade média diminui linearmente com a densidade. A forma usual é
onde:
-
é a velocidade média ( ), -
é a densidade ( ), -
é a velocidade de livre-fluxo (free-flow speed), isto é, a velocidade quando , -
é a densidade de engarrafamento (jam density), isto é, a densidade quando . - Reescrevendo em forma linear (reta) para ajustar por regressão:
onde
é o intercepto e
é a inclinação (espera-se
).
- Depois de ajustar
e pelos dados, recupera-se e . - Para passar de densidade para headway médio (tempo entre veículos) e espaçamento (distância entre veículos):
- fluxo:
(em se em e em ). - headway médio (tempo), em segundos:
(pois segundos = hora). - espaçamento médio (distância entre eixos de veículos), em metros:
(porque é km por veículo, multiplicando por dá metros por veículo).
- fluxo:
- Estes passos são suficientes para ir do ajuste linear até as quantidades pedidas.
Passo 3
Preparar a regressão linear (cálculo das somas necessárias). Vou numerar os pontos
e calcular as somas:
- Dados tabulados (repito para clareza):
-
- Calcular as somas necessárias para mínimos quadrados (número de pontos
): -
(estas somas foram obtidas multipicando e somando termo a termo a partir da tabela de dados.)
Passo 4
Cálculo dos coeficientes da regressão linear
por mínimos quadrados.
- Fórmulas (lembrete):
- Substituindo os números:
- Portanto
- Agora
:
- Interpretação:
-
(velocidade de livre-fluxo). -
-
Passo 5
Obter a densidade prevista quando
usando Greenshields.
- A relação direta (rearranjando
) dá:
- Substituindo
, e :
- Calcule a fração:
- Assim
Passo 6
Calcular o fluxo
, o headway médio
e o espaçamento médio
.
- Primeiro o fluxo (veic/h):
- Headway médio (tempo entre veículos), em segundos:
- Explicando:
está em veic/h; como 1 hora = s, cada veículo chega em média a cada segundos. - Espaçamento médio (distância entre veículos), em metros:
- Verificação (consistência física):
também pode ser obtido como com em m/s. Aqui e dá , consistente com o valor acima (diferenças por arredondamento).
Passo 7
Resumo final dos valores com unidades e interpretação curta (para usar na prova).
- Densidade prevista a
: . - Fluxo correspondente:
. - Headway médio (tempo entre veículos):
. - Espaçamento médio (distância entre veículos):
. - Interpretação rápida: com base no ajuste Greenshields aos dados, a 60 km/h espera-se aproximadamente 44 veículos por km, espaçados entre si em cerca de 23 m e separação temporal de ~1,38 s.
Resposta
Headway médio:
Espaçamento médio:
Espaçamento médio: