[3.0 pts] Analise a dinâmica de reator em Batelada, isotérmico, onde ocorre a reação com \mathbf{k}_{1}=\mathbf{2} e \mathbf{k}_{2}=\mathbf{k}_{3}=\mathbf{1} :
Pede-se:
c) Determine a estabilidade do sistema (Estável, Instável ou neutro). Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece um reator em batelada isotérmico com as reações mostradas na figura e as constantes de velocidade:
\,k_{1}=2\,,\;k_{2}=1\,,\;k_{3}=1.
O que se pede:
Determinar a estabilidade do sistema (Estável, Instável ou neutro) e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
Reações (conforme figura): A \xrightarrow{k_{1}} B e B \xrightleftharpoons[k_{3}]{k_{2}} C.
Sistema em batelada (sem fluxo de entrada/saída): as concentrações variam apenas pela cinética das reações.
Constantes de velocidade numéricas: \,k_{1}=2\,,\;k_{2}=k_{3}=1.
Passo 2
Escrever as equações diferenciais pela lei da ação de massas (cada termo é a velocidade de uma reação que consome ou produz espécies).
Definir as concentrações como A(t),\,B(t),\,C(t). As velocidades das reações (mass-action) são:
Expliquei cada termo: por exemplo, em \frac{dB}{dt} aparece +k_{1}A porque A\to B gera B, aparece -k_{2}B porque B\to C consome B e aparece +k_{3}C porque C\to B gera B.
Passo 3
Identificar conservação e equilibria.
Soma total de concentrações é conservada porque todas as reações apenas interconvertem espécies. Verificar:
ou seja k_{2}B^{*}=k_{3}C^{*}. Com k_{2}=k_{3}=1 segue B^{*}=C^{*}. Usando A^{*}+B^{*}+C^{*}=M obtemos
A^{*}=0,\qquad B^{*}=C^{*}=\frac{M}{2}.
Portanto, para cada valor de M existe um equilíbrio único na variedade compatível com a conservação.
Passo 4
Linearização em torno do equilíbrio: calcular a matriz jacobiana do sistema e avaliar seus autovalores (os autovalores do Jacobiano determinam estabilidade linear).
Justificativa do método: a estabilidade linear do ponto de equilíbrio é dada pelo sinal das partes reais dos autovalores de J. Se todas negativas (exceto possíveis autovalores nulos associados a leis de conservação), o equilíbrio é assintoticamente estável dentro da variedade invariantes; autovalor positivo indica instabilidade.]
Passo 5
Calcular os autovalores de J.
Observa-se que a primeira linha torna -2 um autovalor (bloco triangular): \lambda_{1}=-2.
Há dois autovalores estritamente negativos (-2, -2): direções associadas a essas componentes decaem exponencialmente para o equilíbrio.
Há um autovalor nulo (0). Esse autovalor nulo é consequência direta da conservação da massa total A+B+C=M. O vetor próprio associado a \lambda=0 é proporcional a (0,1,1), que não está tangente à variedade de conservação; a variedade física relevante do sistema é a folha compatível com A+B+C=M (tangente formada por vetores com soma zero). Restringindo o sistema a essa variedade invariantes (o que é fisicamente correto, pois a massa total não muda), o autovalor nulo desaparece da dinâmica tangente e restam apenas autovalores negativos.
Portanto, na variedade física (classe estequiométrica com soma fixa), todas as direções de perturbação decayem: o equilíbrio é assintoticamente estável (atraente).
Conclusão: o equilíbrio é estável; mais precisamente, é assintoticamente estável dentro da classe estequiométrica (invariantes pelo balanço de massa). O autovalor zero é uma consequência da conservação da massa no espaço de coordenadas completo.
Resposta
Estável (assintoticamente estável na classe estequiométrica; existe um autovalor nulo devido à conservação da massa).