[3.0 pts] Analise a dinâmica de reator em Batelada, isotérmico, onde ocorre a reação com \mathbf{k}_{1}=\mathbf{2} e \mathbf{k}_{2}=\mathbf{k}_{3}=\mathbf{1} :
Pede-se:
c) Determine a estabilidade do sistema (Estável, Instável ou neutro). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece um reator em batelada isotérmico com as reações mostradas na figura e as constantes de velocidade:
  • \,k_{1}=2\,,\;k_{2}=1\,,\;k_{3}=1.
O que se pede:
  • Determinar a estabilidade do sistema (Estável, Instável ou neutro) e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
  • Reações (conforme figura): A \xrightarrow{k_{1}} B e B \xrightleftharpoons[k_{3}]{k_{2}} C.
  • Sistema em batelada (sem fluxo de entrada/saída): as concentrações variam apenas pela cinética das reações.
  • Constantes de velocidade numéricas: \,k_{1}=2\,,\;k_{2}=k_{3}=1.

Passo 2

Escrever as equações diferenciais pela lei da ação de massas (cada termo é a velocidade de uma reação que consome ou produz espécies).
Definir as concentrações como A(t),\,B(t),\,C(t). As velocidades das reações (mass-action) são:
r_{1}=k_{1}A,\qquad r_{2}=k_{2}B,\qquad r_{3}=k_{3}C.
As equações de balanço (sem fluxo) ficam:
\frac{dA}{dt}=-k_{1}A,
\frac{dB}{dt}=+k_{1}A - k_{2}B + k_{3}C,
\frac{dC}{dt}=+k_{2}B - k_{3}C.
Expliquei cada termo: por exemplo, em \frac{dB}{dt} aparece +k_{1}A porque A\to B gera B, aparece -k_{2}B porque B\to C consome B e aparece +k_{3}C porque C\to B gera B.

Passo 3

Identificar conservação e equilibria.
  • Soma total de concentrações é conservada porque todas as reações apenas interconvertem espécies. Verificar:
\frac{d}{dt}(A+B+C)=(-k_{1}A)+(k_{1}A-k_{2}B+k_{3}C)+(k_{2}B-k_{3}C)=0.
Logo A+B+C=M é constante (valor M depende das condições iniciais).
Para o equilíbrio \frac{dA}{dt}=\frac{dB}{dt}=\frac{dC}{dt}=0, da primeira equação obtemos
-k_{1}A^{*}=0\quad\Rightarrow\quad A^{*}=0.
Substituindo em \frac{dB}{dt}=0 e \frac{dC}{dt}=0
-k_{2}B^{*}+k_{3}C^{*}=0,\qquad k_{2}B^{*}-k_{3}C^{*}=0,
ou seja k_{2}B^{*}=k_{3}C^{*}. Com k_{2}=k_{3}=1 segue B^{*}=C^{*}. Usando A^{*}+B^{*}+C^{*}=M obtemos
A^{*}=0,\qquad B^{*}=C^{*}=\frac{M}{2}.
Portanto, para cada valor de M existe um equilíbrio único na variedade compatível com a conservação.

Passo 4

Linearização em torno do equilíbrio: calcular a matriz jacobiana do sistema e avaliar seus autovalores (os autovalores do Jacobiano determinam estabilidade linear).
A jacobiana geral é
J=\begin{pmatrix} -\!k_{1} & 0 & 0\\[4pt] k_{1} & -\!k_{2} & k_{3}\\[4pt] 0 & k_{2} & -\!k_{3} \end{pmatrix}.
Substituindo \,k_{1}=2,\;k_{2}=1,\;k_{3}=1 obtém-se
J=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Justificativa do método: a estabilidade linear do ponto de equilíbrio é dada pelo sinal das partes reais dos autovalores de J. Se todas negativas (exceto possíveis autovalores nulos associados a leis de conservação), o equilíbrio é assintoticamente estável dentro da variedade invariantes; autovalor positivo indica instabilidade.]

Passo 5

Calcular os autovalores de J.
Observa-se que a primeira linha torna -2 um autovalor (bloco triangular): \lambda_{1}=-2.
Os dois últimos autovalores vêm do bloco 2\times2
M=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
O polinômio característico de M é
\det(M-\lambda I) = (-1-\lambda)(-1-\lambda)-1 = \lambda(\lambda+2).
Logo os autovalores são \lambda=0 e \lambda=-2.
Assim os autovalores de J são
\lambda_{1}=-2,\qquad \lambda_{2}=-2,\qquad \lambda_{3}=0.]

Passo 6

Interpretar os autovalores para a estabilidade.
  • Há dois autovalores estritamente negativos ( -2, -2): direções associadas a essas componentes decaem exponencialmente para o equilíbrio.
  • Há um autovalor nulo ( 0). Esse autovalor nulo é consequência direta da conservação da massa total A+B+C=M. O vetor próprio associado a \lambda=0 é proporcional a (0,1,1), que não está tangente à variedade de conservação; a variedade física relevante do sistema é a folha compatível com A+B+C=M (tangente formada por vetores com soma zero). Restringindo o sistema a essa variedade invariantes (o que é fisicamente correto, pois a massa total não muda), o autovalor nulo desaparece da dinâmica tangente e restam apenas autovalores negativos.
  • Portanto, na variedade física (classe estequiométrica com soma fixa), todas as direções de perturbação decayem: o equilíbrio é assintoticamente estável (atraente).
Conclusão: o equilíbrio é estável; mais precisamente, é assintoticamente estável dentro da classe estequiométrica (invariantes pelo balanço de massa). O autovalor zero é uma consequência da conservação da massa no espaço de coordenadas completo.

Resposta

Estável (assintoticamente estável na classe estequiométrica; existe um autovalor nulo devido à conservação da massa).

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