[3.0 pts] Analise a dinâmica de reator em Batelada, isotérmico, onde ocorre a reação com \mathbf{k}_{1}=\mathbf{2} e \mathbf{k}_{2}=\mathbf{k}_{3}=\mathbf{1} :
Pede-se:
b) Calcule os autovalores ( \lambda )
Passo 1
O enunciado pede para calcular os autovalores \lambda da dinâmica do reator em batelada (isotérmico) para a rede de reações mostrada na figura. Dados extraídos do enunciado e da figura:
Reações (pela figura): A \rightleftarrows B \rightarrow C (isto é, A\leftrightarrow B com uma etapa reversa e B\to C).
Constantes de velocidade fornecidas: \;k_{1}=2\; e \;k_{2}=k_{3}=1.
O que se pede: os autovalores (as raízes \lambda do polinômio característico da matriz linear que governa as concentrações).
Passo 2
Modelagem das taxas e das equações cinéticas (explicando passo a passo).
Para reações de primeira ordem, a taxa de A\to B é proporcional à concentração de A: \;r_{1}=k_{1}\,a, onde a(t) é a concentração de A.
A taxa de B\to A é \;r_{2}=k_{2}\,b.
A taxa de B\to C é \;r_{3}=k_{3}\,b.
Explicando as variações:
a diminui quando A\to B ocorre e aumenta quando B\to A ocorre, então
Explicando a montagem: a primeira linha dá \dot a com coeficiente de a igual a -k_{1} e coeficiente de b igual a k_{2}; a terceira linha tem zero para a, tem k_{3} multiplicando b (pois c cresce proporcional a b) e zero para c.]
Passo 4
Substituição numérica dos valores dados \;k_{1}=2,\;k_{2}=1,\;k_{3}=1.
O determinante pode ser calculado por expansão na terceira coluna (ela tem muitos zeros), ou observando a estrutura em bloco. Expandindo pela terceira coluna:
Interpretação rápida: o autovalor \lambda=0 aparece porque a soma das concentrações (a+b+c) é conservada no sistema (massa total constante no batelada fechado), logo existe um modo estacionário associado. Os outros dois autovalores são negativos, indicando que as perturbações nos modos correspondentes decaem exponencialmente no tempo (estabilidade linear).