[3.0 pts] Analise a dinâmica de reator em Batelada, isotérmico, onde ocorre a reação com \mathbf{k}_{1}=\mathbf{2} e \mathbf{k}_{2}=\mathbf{k}_{3}=\mathbf{1} :
Pede-se:
b) Calcule os autovalores ( \lambda )

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores \lambda da dinâmica do reator em batelada (isotérmico) para a rede de reações mostrada na figura. Dados extraídos do enunciado e da figura:
  • Reações (pela figura): A \rightleftarrows B \rightarrow C (isto é, A\leftrightarrow B com uma etapa reversa e B\to C).
  • Constantes de velocidade fornecidas: \;k_{1}=2\; e \;k_{2}=k_{3}=1.
  • O que se pede: os autovalores (as raízes \lambda do polinômio característico da matriz linear que governa as concentrações).

Passo 2

Modelagem das taxas e das equações cinéticas (explicando passo a passo).
  • Para reações de primeira ordem, a taxa de A\to B é proporcional à concentração de A: \;r_{1}=k_{1}\,a, onde a(t) é a concentração de A.
  • A taxa de B\to A é \;r_{2}=k_{2}\,b.
  • A taxa de B\to C é \;r_{3}=k_{3}\,b.
    Explicando as variações:
  • a diminui quando A\to B ocorre e aumenta quando B\to A ocorre, então
\frac{da}{dt} = -r_{1} + r_{2} = -k_{1}a + k_{2}b.
  • b aumenta por A\to B e diminui por B\to A e B\to C, então
\frac{db}{dt} = r_{1} - r_{2} - r_{3} = k_{1}a - (k_{2}+k_{3})b.
  • c aumenta apenas por B\to C, então
\frac{dc}{dt} = r_{3} = k_{3}b.
Isto gera um sistema linear a coeficientes constantes da forma \dot{\mathbf{x}} = M\mathbf{x} com \mathbf{x}=(a,b,c)^{T}.

Passo 3

Construção da matriz de coeficientes M.
  • Os coeficientes são os termos das equações acima organizados por colunas (cada coluna corresponde a contribuição da variável correspondente):
M = \begin{pmatrix} -k_{1} & k_{2} & 0\\[4pt] k_{1} & -(k_{2}+k_{3}) & 0\\[4pt] 0 & k_{3} & 0 \end{pmatrix}.
Explicando a montagem: a primeira linha dá \dot a com coeficiente de a igual a -k_{1} e coeficiente de b igual a k_{2}; a terceira linha tem zero para a, tem k_{3} multiplicando b (pois c cresce proporcional a b) e zero para c.]

Passo 4

Substituição numérica dos valores dados \;k_{1}=2,\;k_{2}=1,\;k_{3}=1.
M = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo do polinômio característico \det(M-\lambda I) (detalhando o cálculo).
  • Escrevendo M-\lambda I:
M-\lambda I = \begin{pmatrix} -2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 2 & -2-\lambda & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
  • O determinante pode ser calculado por expansão na terceira coluna (ela tem muitos zeros), ou observando a estrutura em bloco. Expandindo pela terceira coluna:
\det(M-\lambda I)=(-\lambda)\cdot\det\!\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\[4pt] 2 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
  • Calculando o determinante 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\[4pt] 2 & -2-\lambda\end{pmatrix} =( -2-\lambda)^{2} - 2\cdot 1.
  • Portanto o polinômio característico é
\det(M-\lambda I) = -\lambda\bigl(( -2-\lambda)^{2}-2\bigr).]

Passo 6

Simplificar o polinômio e achar as raízes.
  • Expandindo a expressão dentro do parêntese:
( -2-\lambda)^{2}-2 = (\lambda+2)^{2}-2 = \lambda^{2}+4\lambda+4-2=\lambda^{2}+4\lambda+2.
  • Logo
\det(M-\lambda I) = -\lambda\bigl(\lambda^{2}+4\lambda+2\bigr).
As raízes são \lambda=0 e as raízes da quadrática \lambda^{2}+4\lambda+2=0.
  • Usando a fórmula quadrática para \lambda^{2}+4\lambda+2=0:
\lambda = \frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{-4\pm\sqrt{16-8}}{2} = \frac{-4\pm\sqrt{8}}{2}.
  • Simplificando \sqrt{8}=2\sqrt{2}:
\lambda = \frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2} = -2\pm\sqrt{2}.

Passo 7

Valores numéricos aproximados e interpretação física curta (didática e motivadora).
  • As três autovalores são:
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2}=-2+\sqrt{2}\approx -0{,}5858,\qquad \lambda_{3}=-2-\sqrt{2}\approx -3{,}4142.
  • Interpretação rápida: o autovalor \lambda=0 aparece porque a soma das concentrações (a+b+c) é conservada no sistema (massa total constante no batelada fechado), logo existe um modo estacionário associado. Os outros dois autovalores são negativos, indicando que as perturbações nos modos correspondentes decaem exponencialmente no tempo (estabilidade linear).

Resposta

\lambda_{1}=0
\lambda_{2}=-2+\sqrt{2}
\lambda_{3}=-2-\sqrt{2}

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