No problema das oscilações forçadas, o sistema é descrito pela equação diferencial
d^2 xd t^2+2 beta d xd t+omega0^2 x=A cos (omega t+de
(a) Verifique, por substituição, que a função xp(t)=D cos (omega t)
é uma solução particular dessa equação diferencial.
(b) Utilizando o método dos fasores, mostre que
D(omega)=Araiz(omega0^2-omega^2)^2+4 omega^2 beta^2
e
tg de
© Pela condição de máximo, encontre a frequência de ressonância omegar em função de beta e omega0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve oscilações forçadas:
d^2 xd t^2 + 2 beta d xd t + omega0^2 x = A cos (omega t + de
Aqui, x(t) representa a posição em função do tempo, beta é o coeficiente de amortecimento, omega0 é a frequência natural do sistema, A é a amplitude da força externa, omega é a frequência dessa força, e de é uma fase inicial. Vamos resolver os três itens: verificar uma solução particular, usar fasores para encontrar expressões para D(omega) e tan de, e finalmente encontrar a frequência de ressonância.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se xp(t) = D cos(omega t) é uma solução particular da equação. Para isso, vamos substituir xp(t) na equação diferencial e ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de xp(t). A primeira derivada é:
dxpdt = -D omega sin(omega t)
E a segunda derivada é:
d^2 xpdt^2 = -D omega^2 cos(omega t)

Passo 4

Substituindo xp(t) e suas derivadas na equação diferencial:
- D omega^2 cos(omega t) + 2 beta (-D omega sin(omega t)) + omega0^2 D cos(omega t) = A cos(omega t)
Simplificando:
[-D omega^2 + omega0^2 D] cos(omega t) - 2 beta D omega sin(omega t) = A cos(omega t)

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo t, os coeficientes de cos(omega t) e sin(omega t) devem ser iguais. Assim, temos:
(-omega^2 + omega0^2) D = A
-2 beta omega D = 0
Como queremos uma solução não trivial, D neq 0, então a segunda equação implica que:
-2 beta omega = 0 implies beta = 0
Mas isso só é válido se beta = 0, o que simplifica a situação. Entretanto, no contexto das oscilações forçadas com amortecimento, geralmente beta neq 0. Assim, para acomodar o termo de sin(omega t), precisamos considerar uma fase adicional, mas para simplificação inicial, assumimos de.

Passo 6

Agora, vamos usar o método dos fasores para lidar com as fases e encontrar expressões mais gerais para D(omega) e tan de. Fasores são uma forma de representar funções senoidais em termos complexos, facilitando a manipulação de equações diferenciais.

Passo 7

Representamos a solução particular como um fasor:
Xp = D e^jomega t
Substituindo na equação diferencial:
(-omega^2 + j 2 beta omega + omega0^2) D e^jomega t = A e^j(omega t + de

Passo 8

Igualamos os coeficientes dos fasores:
D = A e^jde
Calculando a magnitude de D:
|D| = Araiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2 beta omega)^2 = Araiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4 beta^2 omega^2
Então, temos:
D(omega) = Araiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4 beta^2 omega^2

Passo 9

Para encontrar tan de, observamos que o ângulo de fase de está relacionado aos componentes real e imaginário do denominador:
tan de

Passo 10

Agora, vamos determinar a frequência de ressonância omegar, que é a frequência para a qual a amplitude D(omega) é máxima. Para encontrar o máximo, derivamos D(omega) em relação a omega e igualamos a zero.

Passo 11

Mas há uma forma mais rápida usando a expressão já obtida para D(omega). A amplitude máxima ocorre quando o denominador é mínimo. Ou seja, quando a derivada de raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4 beta^2 omega^2 em relação a omega é zero.

Passo 12

Derivando o denominador e igualando a zero:
ddomega [(omega0^2 - omega^2)^2 + 4 beta^2 omega^2] = 0
Simplificando:
2(omega0^2 - omega^2)(-2omega) + 8 beta^2 omega = 0
-4 omega (omega0^2 - omega^2) + 8 beta^2 omega = 0
-4 (omega0^2 - omega^2) + 8 beta^2 = 0
-4 omega0^2 + 4 omega^2 + 8 beta^2 = 0
4 omega^2 = 4 omega0^2 - 8 beta^2
omega^2 = omega0^2 - 2 beta^2

Passo 13

Portanto, a frequência de ressonância é:
omegar = raizomega0^2 - 2 beta^2

Resposta

A frequência de ressonância é omegar = raizomega0^2 - 2 beta^2.

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