No problema das oscilações forçadas, o sistema é descrito pela equação diferencial
(a) Verifique, por substituição, que a função
é uma solução particular dessa equação diferencial.
(b) Utilizando o método dos fasores, mostre que
e
© Pela condição de máximo, encontre a frequência de ressonância
em função de
e
.
é uma solução particular dessa equação diferencial.
(b) Utilizando o método dos fasores, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve oscilações forçadas:
Aqui,
representa a posição em função do tempo,
é o coeficiente de amortecimento,
é a frequência natural do sistema,
é a amplitude da força externa,
é a frequência dessa força, e
é uma fase inicial. Vamos resolver os três itens: verificar uma solução particular, usar fasores para encontrar expressões para
e
, e finalmente encontrar a frequência de ressonância.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se
é uma solução particular da equação. Para isso, vamos substituir
na equação diferencial e ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais. Assim, temos:
Como queremos uma solução não trivial,
, então a segunda equação implica que:
Mas isso só é válido se
, o que simplifica a situação. Entretanto, no contexto das oscilações forçadas com amortecimento, geralmente
. Assim, para acomodar o termo de
, precisamos considerar uma fase adicional, mas para simplificação inicial, assumimos
.
Passo 6
Agora, vamos usar o método dos fasores para lidar com as fases e encontrar expressões mais gerais para
e
. Fasores são uma forma de representar funções senoidais em termos complexos, facilitando a manipulação de equações diferenciais.
Passo 7
Representamos a solução particular como um fasor:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 8
Igualamos os coeficientes dos fasores:
Calculando a magnitude de
:
Então, temos:
Passo 9
Para encontrar
, observamos que o ângulo de fase
está relacionado aos componentes real e imaginário do denominador:
Passo 10
Agora, vamos determinar a frequência de ressonância
, que é a frequência para a qual a amplitude
é máxima. Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero.
Passo 11
Mas há uma forma mais rápida usando a expressão já obtida para
. A amplitude máxima ocorre quando o denominador é mínimo. Ou seja, quando a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 12
Derivando o denominador e igualando a zero:
Simplificando:
Passo 13
Portanto, a frequência de ressonância é:
Resposta
A frequência de ressonância é
.