onde A e a são constantes reais positivas.
(a) Encontre A.
(b) Para qual função de energia potencial V(x) \Psi satisfaz a equação de Schrödinger?
(c) Calcule o valor esperado de x, x^{2}, p e p^{2}.
(d) Encontre \sigma_{x} e \sigma_{p}. O produto deles é consistente com o princípio da incerteza?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
onde A e a são constantes reais positivas. (Interpreto h do enunciado como a constante reduzida de Planck \hbar.)
Perguntas:
(a) Encontrar A por normalização.
(b) Determinar a função potencial V(x) tal que \Psi satisfaça a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(c) Calcular os valores esperados \langle x\rangle,\\ \langle x^{2}\rangle,\\ \langle p\rangle,\\ \langle p^{2}\rangle.
(d) Encontrar \sigma_x e \sigma_p e verificar se o produto é consistente com o princípio da incerteza.
Informações úteis que vamos usar (já que ainda não vimos tudo):
Portanto o potencial é quadrático (tipo oscilador harmônico) mais uma constante de deslocamento:
V(x)=2a^{2}m x^{2}-2a\hbar.
Passo 4
Cálculo dos valores esperados \langle x\rangle e \langle x^{2}\rangle (parte do item (c)). Vou usar as fórmulas de integrais gaussianas e a densidade |\Psi|^{2}=|A|^{2} e^{-\alpha x^{2}} com \alpha=\dfrac{2 a m}{\hbar}.
Simetria: |\Psi|^{2} é função par em x, logo x\,|\Psi|^{2} é função ímpar. Assim
Interpretação: o princípio da incerteza de Heisenberg diz que
\sigma_x\sigma_p\geq\dfrac{\hbar}{2}.
Aqui temos igualdade \sigma_x\sigma_p=\dfrac{\hbar}{2}, ou seja, a função de onda é de mínima incerteza (estado coerente/estado gaussiano que minimiza a desigualdade).
(d) \sigma_x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\hbar}{a m}},\quad \sigma_p=\sqrt{a m\hbar},\quad \sigma_x\sigma_p=\dfrac{\hbar}{2} (consistente com o princípio da incerteza).