*Problema 1.9 Uma partícula de massa m está no estado
\Psi(x, t)=A e^{-a\left[\left(m x^{2} / h\right)-i t\right]},
onde A e a são constantes reais positivas.
(a) Encontre A.
(b) Para qual função de energia potencial V(x) \Psi satisfaz a equação de Schrödinger?
(c) Calcule o valor esperado de x, x^{2}, p e p^{2}.
(d) Encontre \sigma_{x} e \sigma_{p}. O produto deles é consistente com o princípio da incerteza?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • A função de onda é
\Psi(x,t)=A e^{-a\left[\left(\dfrac{m x^{2}}{\hbar}\right)-i t\right]},
onde A e a são constantes reais positivas. (Interpreto h do enunciado como a constante reduzida de Planck \hbar.)
  • Perguntas:
    (a) Encontrar A por normalização.
    (b) Determinar a função potencial V(x) tal que \Psi satisfaça a equação de Schrödinger dependente do tempo.
    (c) Calcular os valores esperados \langle x\rangle,\\ \langle x^{2}\rangle,\\ \langle p\rangle,\\ \langle p^{2}\rangle.
    (d) Encontrar \sigma_x e \sigma_p e verificar se o produto é consistente com o princípio da incerteza.
Informações úteis que vamos usar (já que ainda não vimos tudo):
  • Normalização: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx=1.
  • Integral gaussiana básica:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}},\qquad \text{para }\alpha>0,
e
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{3}}}.
  • Operadores: \hat p=-i\hbar\dfrac{d}{dx} e \hat p^{2}=-\hbar^{2}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}.
  • Valor esperado: \langle O\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\hat O \Psi\,dx.

Passo 2

Normalização e obtenção de A (resposta ao item (a)) — vamos normalizar passo a passo.
  1. Primeiro escrevo o módulo ao quadrado:
|\Psi(x,t)|^{2}=|A|^{2} \exp\!\left[-2a\left(\dfrac{m x^{2}}{\hbar}\right)\right],
pois o fator de fase temporal e^{i a t} cancela com seu conjugado.
  1. Defino \alpha para simplificar:
\alpha\equiv \dfrac{2 a m}{\hbar}\quad(\text{onde }\alpha>0).
  1. Normalização exige
1=\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^{2}\,dx=|A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}\,dx.
  1. Uso a integral gaussiana:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}.
  1. Logo
1=|A|^{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}\quad\Rightarrow\quad |A|^{2}=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\pi}}.
  1. Substituindo \alpha=\dfrac{2 a m}{\hbar}:
|A|^{2}=\sqrt{\dfrac{2 a m}{\pi\hbar}}.
  1. Como A é dado real positivo pelo enunciado, tomo
A=\left(\dfrac{2 a m}{\pi\hbar}\right)^{1/4}.

Passo 3

Encontrar V(x) tal que \Psi satisfaça a equação de Schrödinger dependente do tempo (item (b)). Vou aplicar a equação
i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=\left[-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\right]\Psi.
  1. Reescrevo \Psi separando parte espacial e temporal:
\Psi(x,t)=A\;e^{-a m x^{2}/\hbar}\;e^{i a t}.
  1. Derivada temporal:
\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=i a \Psi\quad\Rightarrow\quad i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=i\hbar(i a)\Psi=-a\hbar\,\Psi.
  1. Derivadas espaciais: primeiro derivada
\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}=\left(-\dfrac{2 a m x}{\hbar}\right)\Psi.
Segunda derivada (usar regra do produto):
\dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}=\left(-\dfrac{2 a m}{\hbar}+\dfrac{4 a^{2} m^{2} x^{2}}{\hbar^{2}}\right)\Psi.
  1. Operador cinético:
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}=\left(a\hbar-2a^{2}m x^{2}\right)\Psi.
(Detalhe da simplificação: o termo -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\cdot\left(-\dfrac{2 a m}{\hbar}\right)=a\hbar e o outro termo dá -2a^{2}m x^{2}.)
  1. Substituindo na equação de Schrödinger:
-i\hbar\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}= -a\hbar\Psi \quad\text{(LHS)},
\text{RHS}=\left(a\hbar-2a^{2}m x^{2}+V(x)\right)\Psi.
  1. Igualando LHS e RHS (dividindo por \Psi):
- a\hbar = a\hbar - 2a^{2}m x^{2} + V(x).
  1. Isolando V(x):
V(x)= -a\hbar - a\hbar + 2a^{2}m x^{2}=2a^{2}m x^{2}-2a\hbar.
Portanto o potencial é quadrático (tipo oscilador harmônico) mais uma constante de deslocamento:
V(x)=2a^{2}m x^{2}-2a\hbar.

Passo 4

Cálculo dos valores esperados \langle x\rangle e \langle x^{2}\rangle (parte do item (c)). Vou usar as fórmulas de integrais gaussianas e a densidade |\Psi|^{2}=|A|^{2} e^{-\alpha x^{2}} com \alpha=\dfrac{2 a m}{\hbar}.
  1. Simetria: |\Psi|^{2} é função par em x, logo x\,|\Psi|^{2} é função ímpar. Assim
\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x\,|\Psi|^{2}\,dx=0.
  1. Para \langle x^{2}\rangle:
\langle x^{2}\rangle=|A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}}\,dx.
Usando a fórmula da integral:
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{3}}}.
  1. Como |A|^{2}=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\pi}}, temos
\langle x^{2}\rangle=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\pi}}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{3}}}=\dfrac{1}{2\alpha}.
  1. Substituindo \alpha=\dfrac{2 a m}{\hbar}:
\langle x^{2}\rangle=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\hbar}{2 a m}=\dfrac{\hbar}{4 a m}.

Passo 5

Cálculo dos valores esperados \langle p\rangle e \langle p^{2}\rangle (continuação do item (c)), usando \hat p=-i\hbar\dfrac{d}{dx}.
  1. Primeiro \langle p\rangle:
\hat p\Psi=-i\hbar\dfrac{d\Psi}{dx}=-i\hbar\left(-\dfrac{2 a m x}{\hbar}\right)\Psi=i(2 a m x)\Psi.
Logo o integrando para \langle p\rangle é
\Psi^{*}\hat p\Psi=i\,2 a m x\,|\Psi|^{2},
que é função ímpar em x. Portanto
\langle p\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\hat p\Psi\,dx=0.
  1. Agora \langle p^{2}\rangle. Uso \hat p^{2}=-\hbar^{2}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}. Já calculamos a segunda derivada:
\dfrac{d^{2}\Psi}{dx^{2}}=\left(-\dfrac{2 a m}{\hbar}+\dfrac{4 a^{2} m^{2} x^{2}}{\hbar^{2}}\right)\Psi.
Portanto
\hat p^{2}\Psi=-\hbar^{2}\dfrac{d^{2}\Psi}{dx^{2}}=\left(2a m\hbar-4a^{2}m^{2}x^{2}\right)\Psi.
  1. O valor esperado é
\langle p^{2}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\hat p^{2}\Psi\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^{2}\left(2a m\hbar-4a^{2}m^{2}x^{2}\right)\,dx.
  1. Separando termos:
\langle p^{2}\rangle=2a m\hbar\int|\Psi|^{2}dx-4a^{2}m^{2}\int x^{2}|\Psi|^{2}dx.
A primeira integral é 1 (normalização) e a segunda é \langle x^{2}\rangle que já temos. Então
\langle p^{2}\rangle=2a m\hbar-4a^{2}m^{2}\langle x^{2}\rangle.
  1. Substituindo \langle x^{2}\rangle=\dfrac{\hbar}{4 a m}:
\langle p^{2}\rangle=2a m\hbar-4a^{2}m^{2}\cdot\dfrac{\hbar}{4 a m}=2a m\hbar-a m\hbar=a m\hbar.
Resumo dos valores esperados (itens (c)):
\langle x\rangle=0,\qquad \langle x^{2}\rangle=\dfrac{\hbar}{4 a m},
\langle p\rangle=0,\qquad \langle p^{2}\rangle=a m\hbar.

Passo 6

Cálculo das incertezas \sigma_x e \sigma_p e verificação do princípio da incerteza (item (d)).
  1. Definições:
\sigma_x=\sqrt{\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}},\qquad \sigma_p=\sqrt{\langle p^{2}\rangle-\langle p\rangle^{2}}.
  1. Como \langle x\rangle=\langle p\rangle=0:
\sigma_x=\sqrt{\langle x^{2}\rangle}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{4 a m}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\hbar}{a m}},
\sigma_p=\sqrt{\langle p^{2}\rangle}=\sqrt{a m\hbar}=\sqrt{a m\hbar}.
  1. Produto das incertezas:
\sigma_x\sigma_p=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\hbar}{a m}}\;\sqrt{a m\hbar}=\dfrac{1}{2}\hbar=\dfrac{\hbar}{2}.
  1. Interpretação: o princípio da incerteza de Heisenberg diz que
\sigma_x\sigma_p\geq\dfrac{\hbar}{2}.
Aqui temos igualdade \sigma_x\sigma_p=\dfrac{\hbar}{2}, ou seja, a função de onda é de mínima incerteza (estado coerente/estado gaussiano que minimiza a desigualdade).

Resposta

(a) A=\left(\dfrac{2 a m}{\pi\hbar}\right)^{1/4}.
(b) V(x)=2a^{2}m x^{2}-2a\hbar.
(c) \langle x\rangle=0,\quad \langle x^{2}\rangle=\dfrac{\hbar}{4 a m};\quad \langle p\rangle=0,\quad \langle p^{2}\rangle=a m\hbar.
(d) \sigma_x=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\hbar}{a m}},\quad \sigma_p=\sqrt{a m\hbar},\quad \sigma_x\sigma_p=\dfrac{\hbar}{2} (consistente com o princípio da incerteza).

Exercícios relacionados