Problema 8 (1,0 Ponto cada): Em uma empresa de distribuição chegam caminhões para carregamento e em um dia normal ela atende em média 3 caminhões. A empresa tem capacidade para receber até 6 caminhões. Com base nestes dados, calcule:
Qual a probabilidade de que em um dia normal a empresa não seja capaz de atender os caminhões que chegam?
Qual a probabilidade de que em um dia normal a empresa não seja capaz de atender os caminhões que chegam?
Passo 1
O enunciado dá estas informações e faz esta pergunta:
- Informação 1: em um dia normal chegam, em média,
caminhões. - Informação 2: a empresa tem capacidade para atender até
caminhões (ou seja, se chegarem mais de ela não consegue atender todos). - Pergunta: qual a probabilidade de que, num dia normal, a empresa NÃO seja capaz de atender os caminhões que chegam? Em termos probabilísticos, isso é a probabilidade de que o número de chegadas seja maior que
.
Passo 2
Escolhendo o modelo (motivo e fórmula): para contar chegadas por dia, quando se dá uma média por intervalo de tempo e as chegadas são raras/independentes, o modelo clássico é o processo de Poisson. A variável aleatória
que conta o número de caminhões em um dia tem então a distribuição de Poisson com parâmetro
. A função massa de probabilidade da Poisson é
Aqui
é a média esperada (número médio de chegadas por dia),
é o número específico de chegadas,
é a base dos logaritmos naturais e
é o fatorial de
.
O evento “empresa não consegue atender” é
(chegam 7 ou mais caminhões). É mais prático calcular o complementar:
Passo 3
Estratégia de cálculo prática (truque útil para prova): em vez de calcular cada
e potências separadas, usar a relação recursiva entre probabilidades consecutivas da Poisson:
Isso permite calcular
com multiplicações simples.
Começar por
:
Usando
obtém-se
Agora calcular sequencialmente com
:
Passo 4
Somar as probabilidades de
a
:
Fazendo a soma (passo a passo ou com uma calculadora simples) obtém-se
Então a probabilidade procurada é o complementar:
Passo 5
Interpretação final e dica de prova: a resposta significa que em cerca de
dos dias a empresa receberá mais caminhões do que sua capacidade de
. Em prova, use a recursão
para calcular os termos rapidamente sem fatoriais; para
memorize ou use aproximação
.