Problema 8 (1,0 Ponto cada): Em uma empresa de distribuição chegam caminhões para carregamento e em um dia normal ela atende em média 3 caminhões. A empresa tem capacidade para receber até 6 caminhões. Com base nestes dados, calcule:
Qual a probabilidade de que em um dia normal a empresa não seja capaz de atender os caminhões que chegam?

Passo 1

O enunciado dá estas informações e faz esta pergunta:
  • Informação 1: em um dia normal chegam, em média, \lambda=3 caminhões.
  • Informação 2: a empresa tem capacidade para atender até 6 caminhões (ou seja, se chegarem mais de 6 ela não consegue atender todos).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, num dia normal, a empresa NÃO seja capaz de atender os caminhões que chegam? Em termos probabilísticos, isso é a probabilidade de que o número de chegadas seja maior que 6.

Passo 2

Escolhendo o modelo (motivo e fórmula): para contar chegadas por dia, quando se dá uma média por intervalo de tempo e as chegadas são raras/independentes, o modelo clássico é o processo de Poisson. A variável aleatória X que conta o número de caminhões em um dia tem então a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=3. A função massa de probabilidade da Poisson é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Aqui \lambda é a média esperada (número médio de chegadas por dia), k é o número específico de chegadas, e é a base dos logaritmos naturais e k! é o fatorial de k.
O evento “empresa não consegue atender” é X\ge 7 (chegam 7 ou mais caminhões). É mais prático calcular o complementar:
\mathbb{P}(X\ge 7)=1-\mathbb{P}(X\le 6)=1-\sum_{k=0}^{6} P(X=k).

Passo 3

Estratégia de cálculo prática (truque útil para prova): em vez de calcular cada k! e potências separadas, usar a relação recursiva entre probabilidades consecutivas da Poisson:
P_{0}=e^{-\lambda},\qquad P_{k+1}=\frac{\lambda}{k+1}\,P_{k}.
Isso permite calcular P_0,P_1,\dots,P_6 com multiplicações simples.
Começar por P_0:
P_0 = e^{-3}.
Usando e\approx 2{,}7182818 obtém-se
e^{-3}\approx 0{,}049787068\quad\text{(valor aproximado para usar em contas)}.
Agora calcular sequencialmente com \lambda=3:
P_1=\frac{3}{1}P_0=3P_0\approx 3\cdot0{,}049787068=0{,}149361205,
P_2=\frac{3}{2}P_1\approx\frac{3}{2}\cdot0{,}149361205=0{,}224041808,
P_3=\frac{3}{3}P_2=P_2\approx0{,}224041808,
P_4=\frac{3}{4}P_3\approx\frac{3}{4}\cdot0{,}224041808=0{,}168031356,
P_5=\frac{3}{5}P_4\approx\frac{3}{5}\cdot0{,}168031356=0{,}100818813,
P_6=\frac{3}{6}P_5=\frac{1}{2}P_5\approx0{,}050409406.

Passo 4

Somar as probabilidades de 0 a 6:
\sum_{k=0}^{6}P(X=k)\approx 0{,}049787068+0{,}149361205+0{,}224041808+0{,}224041808+0{,}168031356+0{,}100818813+0{,}050409406.
Fazendo a soma (passo a passo ou com uma calculadora simples) obtém-se
\mathbb{P}(X\le 6)\approx 0{,}96649146.
Então a probabilidade procurada é o complementar:
\mathbb{P}(X\ge 7)=1-\mathbb{P}(X\le 6)\approx 1-0{,}96649146=0{,}03350854.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova: a resposta significa que em cerca de 3{,}35\% dos dias a empresa receberá mais caminhões do que sua capacidade de 6. Em prova, use a recursão P_{k+1}=(\lambda/(k+1))P_k para calcular os termos rapidamente sem fatoriais; para e^{-\lambda} memorize ou use aproximação e^{-3}\approx 0{,}04979.

Resposta

\;0,03350854\approx 3{,}35\%

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